Teilaufgabe c

Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenfläche \(ABF\) und die Grundfläche \(ABCD\) einschließen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Schnittwinkel α der Ebene W und der x₁x₂-Ebene 

Die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenfläche \(ABF\) und die Grundfläche \(ABCD\) einschließen, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(W\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser ist gleich der Größe des spitzen Winkels, den die Normalenvektoren der Ebenen einschließen (Skizze nicht verlangt).

Normalenvektor der Ebene \(W\): \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe b)

Beispielsweise ist \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{n}_{\small{x_{1}x_{2}}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}\) ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

\[\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{\vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \circ \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{n}_{\small{x_{1}x_{2}}}} \vert}{\vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert \cdot \vert \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{n}_{\small{x_{1}x_{2}}}} \vert} = \frac{\left|\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}} \circ \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}\right|}{\left| \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}} \right| \cdot \left| \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert \textcolor{#0087c1}{0} \cdot \textcolor{#e9b509}{0} + \textcolor{#0087c1}{4} \cdot \textcolor{#e9b509}{0} + \textcolor{#0087c1}{3} \cdot \textcolor{#e9b509}{1}\vert}{\sqrt{\textcolor{#0087c1}{0}^2 + \textcolor{#0087c1}{4}^2 + \textcolor{#0087c1}{3}^2} \cdot \sqrt{\textcolor{#e9b509}{0}^2 + \textcolor{#e9b509}{0}^2 + \textcolor{#e9b509}{1}^2}} \\[0.8em] &= \frac{3}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{1}} = \frac{3}{5} & &| \; \text{TR}\colon\, \cos^{-1}(\dots) \\[2.4em] \alpha &= \cos^{-1}\left( \frac{3}{5} \right) \approx 53{,}1^{\circ} \end{align*}\]

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