Teilaufgabe e

Geometrie 2

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\(N(1{,}6|0|3{,}2)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \([KF]\). Begründen Sie, dass die Gerade \(EN\) den Innenwinkel des Dreiecks \(DFE\) bei \(E\) halbiert, und weisen Sie rechnerisch nach, dass \(S\) auf der Geraden \(EN\) liegt.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

Begründung, dass die Gerade \(EN\) den Innenwinkel des Dreiecks \(DFE\) bei \(E\) halbiert

Dreieck DFE, Dreieck KFE, Mittelpunkt N der Strecke [KF], Gerade EN, Winkel KEF

Planskizze (optional): Wegen \(\textcolor{#e9b509}{\overline{KE}} = \textcolor{#e9b509}{\overline{EF}}\) (vgl. Angabe Teilaufgabe d) ist das Dreieck \(KFE\) gleichschenklig mit der Basis \([KF]\).

Die Gerade \(\textcolor{#cc071e}{EN}\) verläuft durch den Mittelpunkt \(N\) der Basis \([KF]\) und ist somit Symmetrieachse des Dreieck \(KFE\). Folglich halbiert die Gerade \(\textcolor{#cc071e}{EN}\) den Innenwinkel des Dreiecks \(KFE\) und damit auch des Dreiecks \(DFE\) bei \(\textcolor{#e9b509}{E}\) (\(\textcolor{#e9b509}{\measuredangle KFE} = \textcolor{#e9b509}{\measuredangle DFE}\)).

Nachweis, dass \(S\) auf der Gerade \(EN\) liegt

Der Punkt \(S\) ist der Ursprung des Koordinatensystems (vgl. Angabe).

\(S(0|0|0)\)

1. Möglichkeit: Lineare Abhängigkeit der Ortsvektoren \(\overrightarrow{N}\) und \(\overrightarrow{E}\) nachweisen

Dreieck KFE, Gerade EN, Ortsvektoren der Punkte N und E

Da der Punkt \(S\) im Ursprung des Koordinatensystems liegt, verläuft die Gerade \(\textcolor{#cc071e}{EN}\) durch \(S\), wenn die Ortsvektoren \(\overrightarrow{SN} = \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{N}}\) und \(\overrightarrow{SE} = \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{E}}\) linear abhängig sind, d. h. ein reelles Vielfaches voneinander sind.

Es ist also beispielsweise die Gültigkeit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{E}} = k \cdot \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{N}}; k \in \mathbb R\) nachzuweisen.

\(N(1{,}6|0|3{,}2)\), \(E(2|0|4)\)

Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Lineare (Un-)Abhängigkeit von zwei Vektoren

Zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind

linear abhängig, wenn

\(\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.

linear unabhängig, wenn

\(\overrightarrow{a} \nparallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} \neq k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.

Lineare (Un-)Abhängigkeit von drei Vektoren

Drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind

linear abhängig, wenn

sie in einer Ebene liegen bzw. wenn

die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) eine eindeutige Lösung hat.

linear unabhängig, wenn

sie den Raum \(\mathbb R^{3}\) aufspannen bzw. wenn

die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) keine Lösung hat.

Bei der Untersuchung der linearen (Un)Abhängigkeit dreier Vektoren spielt es keine Rolle, welche der drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) oder \(\overrightarrow{c}\) man als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darzustellen versucht.

\[\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}} = k \cdot \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 0 \\ 3{,}2 \end{pmatrix}} \; \Rightarrow \; \left\{\begin{align*} 2 &= k \cdot1{,}6 \; \Leftrightarrow \; k = \frac{5}{4} \\ 0 &= k \cdot 0 \\ 4 &= k \cdot 3{,}2 \; \Leftrightarrow \; k = \frac{5}{4} \end{align*} \right\} \; \Rightarrow \; S \in \textcolor{#cc071e}{EN}\]

Es gilt \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{E}} = \dfrac{5}{4} \cdot \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{N}}\). Also liegt \(S\) auf der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{EN}\).

2. Möglichkeit: Punktprobe mit Gleichung der Gerade \(EN\)

Gleichung der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{EN}\) in Parameterform beschreiben:

Gerade EN, Verbindungsvektor der Punkte E und N, Punkt S (Koordinatenursprung)

Planskizze (optional): Beispielsweise ist \(\textcolor{#cc071e}{E}\) ein Aufpunkt und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{EN}}\) ein Richtungsvektor der Geradengleichung in Parameterform.

\(N(1{,}6|0|3{,}2)\), \(E(2|0|4)\)

Geradengleichung in Parameterform

Gleichung einer Geraden in Parameterform

Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform

\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.

Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) der Richtungsvektor der Geraden \(g\).

\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{EN}} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{E} = \begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 0 \\ 3{,}2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -0{,}4 \\0 \\ -0{,}8 \end{pmatrix}}\]

\[\begin{align*} &\textcolor{#cc071e}{EN}\colon \overrightarrow{X} = \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{E}} + \mu \cdot \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{EN}}, \; \mu \in \mathbb R \\[0.8em] &\textcolor{#cc071e}{EN} \colon \overrightarrow{X} =\textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}} + \mu \cdot \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -0{,}4 \\0 \\ -0{,}8 \end{pmatrix}}, \; \mu \in \mathbb R\end{align*}\]

Punktprobe \(\textcolor{#0087c1}{S(0|0|0)} \in \textcolor{#cc071e}{EN}\):

\[\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} =\textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}} + \mu \cdot \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -0{,}4 \\0 \\ -0{,}8 \end{pmatrix}} \;\Rightarrow \; \left\{ \begin{align*} 0 &= 2 - 0{,}4\mu \; \Leftrightarrow \; \mu = 5 \\ 0 &= 0 \\ 0 &= 4 - 0{,}8\mu \;\Leftrightarrow \; \mu = 5 \end{align*} \right\} \; \Rightarrow \; \textcolor{#0087c1}{S} \in \textcolor{#cc071e}{EN}\]

\(\mu = 5\) ist eindeutige Lösung der Vektorgleichung. Somit liegt der Punkt \(\textcolor{#0087c1}{S}\) auf der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{EN}\).

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