An einem Samstagvormittag kommen nacheinander vier Familien zum Eingangsbereich eines Freizeitparks. Jede der vier Familien bezahlt an einer der sechs Kassen, wobei davon ausgegangen werden soll, dass jede Kasse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang zwei Ereignisse \(A\) und \(B\), deren Wahrscheinlichkeiten sich mit den folgenden Termen berechnen lassen:
\[P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{4}}; \enspace P(B) = \frac{6}{6^{4}}\]
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1
\[P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{4}}\]
\(A\): „Die vier Familien zahlen an verschiedenen Kassen."
\[P(B) = \frac{6}{6^{4}}\]
\(B\): „Alle vier Familien zahlen an derselben Kasse."
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Da „davon ausgegangen werden soll, dass jede Kasse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt wird" (vgl. Angabe), kann die Wahl einer der sechs Kassen als Laplace-Experiment aufgefasst werden.
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
\[P(A) = \frac{\textcolor{#e9b509}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}}{\textcolor{#0087c1}{6^{4}}}\]
Grundformeln der Kombinatorik
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulichen und simulieren. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Je nach Modell werden die Kugeln mit oder ohne Zurücklegen gezogen und es wird außerdem darauf geachtet, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln einen Rolle spielt.
Die nachfolgende Tabelle gibt für das jeweilige Urnenmodell den Term an, mit dem sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen lässt.
| | Mit Beachtung der Reihenfolge | Ohne Beachtung der Reihenfolge |
| Mit Zurücklegen | \(n^{k}\) | - nicht abiturrelevant - |
| Ohne Zurücklegen | \(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\) Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen) | \(\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\) (entspricht „Ziehen mit einem Griff", vgl. Binomialkoeffizient) |
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{6^{4}}\) Möglichkeiten dafür, dass die vier Familien eine der sechs möglichen Kassen wählen.
Es gibt \(\textcolor{#e9b509}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}\) Möglichkeiten dafür, dass die vier Familien nacheinander verschiedene Kassen wählen. Die erste Familie wählt eine der 6 Kassen, die zweite Familie wählt eine der 5 anderen Kassen, usw.
\(\Rightarrow \enspace A\): „Die vier Familien zahlen an verschiedenen Kassen."
\[P(B) = \frac{\textcolor{#e9b509}{6}}{\textcolor{#0087c1}{6^{4}}}\]
Grundformeln der Kombinatorik
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulichen und simulieren. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Je nach Modell werden die Kugeln mit oder ohne Zurücklegen gezogen und es wird außerdem darauf geachtet, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln einen Rolle spielt.
Die nachfolgende Tabelle gibt für das jeweilige Urnenmodell den Term an, mit dem sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen lässt.
| | Mit Beachtung der Reihenfolge | Ohne Beachtung der Reihenfolge |
| Mit Zurücklegen | \(n^{k}\) | - nicht abiturrelevant - |
| Ohne Zurücklegen | \(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\) Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen) | \(\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\) (entspricht „Ziehen mit einem Griff", vgl. Binomialkoeffizient) |
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{6^{4}}\) Möglichkeiten dafür, dass die vier Familien eine der sechs möglichen Kassen wählen.
Es gibt \(\textcolor{#e9b509}{6}\) Möglichkeiten dafür, dass alle Familien dieselbe Kasse wählen. Alle wählen Kasse 1 oder alle wählen Kasse 2 usw.
\(\Rightarrow \enspace B\): „Alle vier Familien zahlen an derselben Kasse."
