Teilaufgabe 2a

Im Eingangsbereich des Freizeitparks können Bollerwagen ausgeliehen werden. Erfahrungsgemäß nutzen 15 % der Familien dieses Angebot. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien, die an einem Tag den Freizeitpark betreten, entliehen werden. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass eine Familie höchstens einen Bollerwagen ausleiht und dass die Zufallsgröße \(X\) binomialverteilt ist.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 Bollerwaagen ausgeliehen werden. 

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\(X\): Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien entliehen werden

\(n = 200\) (Länge der Bernoulli-Kette)

\(p = 0{,}15\) (Trefferwahrscheinlichkeit für das Ereignis „Familie entleiht einen Bollerwagen.")

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(200;0{,}15)\) binomialverteilt (vgl. Angabe).

 

Die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}15}^{200}(X \geq 25)\) dafür, dass mindestens 25 Bollerwagen entliehen werden, lässt sich durch die Betrachtung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses „Höchstens 24 Bollerwagen werden entliehen" auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückführen, welche im Stochastischen Tafelwerk (ST) in der rechten Spalte tabellarisiert ist.

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

\[\begin{align*}P_{0{}15}^{200}(X \geq 25) &= 1 - \textcolor{#0087c1}{P_{0{,}15}^{200}(X \leq 24)} \\[0.8em] &= 1 - \textcolor{#0087c1}{\sum \limits_{I\,=\,0}^{24}B(200;0{,}15;i)} \\[0.8em] &\overset{\textcolor{#0087c1}{\text{ST}}}{=} 1 - \textcolor{#0087c1}{0{,}13682} \\[0.8em] &= 0{,}86318 \approx 86{,}3\,\% \end{align*}\]

 

(vgl. ABITUR SKRIPT - Lernhilfen - Stochastik - Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten einer nach \(B(n;p)\)) binomialverteilten Zufallsgröße)

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1 Teilaufgabe 2b »

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