Teilaufgabe 4b

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert \(\dfrac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\) hat.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

\(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedene Motive

3 Anstecker

 

Da „jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat" (vgl. Angabe Aufgabe 4) stellt das Bedrucken eines Ansteckers mit einem zufällig ausgewählten Motiv ein Laplace-Experiment dar.

Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{n}^{\textcolor{#e9b509}{3}}\) Möglichkeiten, 3 Anstecker mit einem von \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedenen Motiven zu bedrucken.

Es gibt \(\textcolor{#0087c1}{n}\) Möglichkeiten, den ersten Anstecker mit einem von \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedenen Motiven zu bedrucken. Es gibt \(\textcolor{#0087c1}{n - 1}\) Möglichkeiten, den zweiten Anstecker mit einem anderen Motiv zu bedrucken. Und schließlich gibt es \(\textcolor{#0087c1}{n - 2}\) Möglichkeiten, den dritten Anstecker wiederum mit einem anderen Motiv zu bedrucken.

Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es somit \(\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 2)}\) Möglichkeiten, die drei Anstecker mit verschiedenen Motiven zu bedrucken.

Somit ergibt sich:

\[\begin{align*} P(\text{„Drei verschiedene Motive"}) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 2)}}{\textcolor{#0087c1}{n}^{\textcolor{#e9b509}{3}}} \\[0.8em] &= \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 4a Teilaufgabe 4c »