Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert \(\dfrac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\) hat.
(2 BE)
Teilaufgabe 4b
Lösung zu Teilaufgabe 4b
\(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedene Motive
3 Anstecker
Da „jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat" (vgl. Angabe Aufgabe 4) stellt das Bedrucken eines Ansteckers mit einem zufällig ausgewählten Motiv ein Laplace-Experiment dar.
Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{n}^{\textcolor{#e9b509}{3}}\) Möglichkeiten, 3 Anstecker mit einem von \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedenen Motiven zu bedrucken.
Es gibt \(\textcolor{#0087c1}{n}\) Möglichkeiten, den ersten Anstecker mit einem von \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedenen Motiven zu bedrucken. Es gibt \(\textcolor{#0087c1}{n - 1}\) Möglichkeiten, den zweiten Anstecker mit einem anderen Motiv zu bedrucken. Und schließlich gibt es \(\textcolor{#0087c1}{n - 2}\) Möglichkeiten, den dritten Anstecker wiederum mit einem anderen Motiv zu bedrucken.
Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es somit \(\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 2)}\) Möglichkeiten, die drei Anstecker mit verschiedenen Motiven zu bedrucken.
Somit ergibt sich:
\[\begin{align*} P(\text{„Drei verschiedene Motive"}) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 2)}}{\textcolor{#0087c1}{n}^{\textcolor{#e9b509}{3}}} \\[0.8em] &= \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\end{align*}\]
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