Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert \(\dfrac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\) hat.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4b
\(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedene Motive
3 Anstecker
Da „jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat" (vgl. Angabe Aufgabe 4) stellt das Bedrucken eines Ansteckers mit einem zufällig ausgewählten Motiv ein Laplace-Experiment dar.
Grundformeln der Kombinatorik
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulichen und simulieren. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Je nach Modell werden die Kugeln mit oder ohne Zurücklegen gezogen und es wird außerdem darauf geachtet, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln einen Rolle spielt.
Die nachfolgende Tabelle gibt für das jeweilige Urnenmodell den Term an, mit dem sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen lässt.
| | Mit Beachtung der Reihenfolge | Ohne Beachtung der Reihenfolge |
| Mit Zurücklegen | \(n^{k}\) | - nicht abiturrelevant - |
| Ohne Zurücklegen | \(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\) Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen) | \(\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\) (entspricht „Ziehen mit einem Griff", vgl. Binomialkoeffizient) |
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{n}^{\textcolor{#e9b509}{3}}\) Möglichkeiten, 3 Anstecker mit einem von \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedenen Motiven zu bedrucken.
Es gibt \(\textcolor{#0087c1}{n}\) Möglichkeiten, den ersten Anstecker mit einem von \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedenen Motiven zu bedrucken. Es gibt \(\textcolor{#0087c1}{n - 1}\) Möglichkeiten, den zweiten Anstecker mit einem anderen Motiv zu bedrucken. Und schließlich gibt es \(\textcolor{#0087c1}{n - 2}\) Möglichkeiten, den dritten Anstecker wiederum mit einem anderen Motiv zu bedrucken.
Allgemeines Zählprinzip
Allgemeines Zählprinzip
Wird ein Zufallsexperiment in \(k\) Stufen durchgeführt und gibt es in der ersten Stufe \(n_{1}\), in der zweiten Stufe \(n_{2}\) und in der \(k\)-ten Stufe \(n_{k}\) mögliche Ergebnisse, so gilt für die Anzahl \(N\) der insgesamt möglichen Ergebnisse:
\[N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot … \cdot n_{k}\]
Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es somit \(\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 2)}\) Möglichkeiten, die drei Anstecker mit verschiedenen Motiven zu bedrucken.
Somit ergibt sich:
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
\[\begin{align*} P(\text{„Drei verschiedene Motive"}) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 2)}}{\textcolor{#0087c1}{n}^{\textcolor{#e9b509}{3}}} \\[0.8em] &= \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\end{align*}\]
