Teilaufgabe 1

Ein Süßwarenunternehmen stellt verschiedene Sorten Fruchtgummis her.

Luisa nimmt an einer Betriebsbesichtigung des Unternehmens teil. Zu Beginn der Führung bekommt sie ein Tütchen mit zehn Gummibärchen, von denen fünf weiß. zwei rot und drei grün sind. Luisa öffnet das Tütchen und nimmt, ohne hinzusehen, drei Gummibärchen heraus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

fünf weiße, zwei rote und drei grüne Gummibärchen

5 weiße, 2 rote und 3 grüne Gummibärchen

Die drei dem Tütchen entnommenen Gummibärchen können entweder alle weiß oder alle grün sein, nicht aber rot, da davon nur zwei enthalten sind.

 

1. Möglichkeit: Formel aus der Merkhilfe verwenden

Da die drei Gummibärchen einmalig entnommen werden, kann die Formel aus der Merkhilfe für das Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen" verwendet werden.

\[\begin{align*}&\quad \enspace P(\text{„Alle drei Gummibärchen haben die gleiche Farbe"}) \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \overbrace{\binom{5}{3}}^{\text{alle weiß}} \cdot \binom{5}{0}}{\displaystyle \binom{10}{3}} + \frac{\displaystyle \overbrace{\binom{\textcolor{#89ba17}{3}}{\textcolor{#89ba17}{3}}}^{\textcolor{#89ba17}{\text{alle grün}}} \cdot \binom{7}{0}}{\displaystyle\binom{10}{3}} \\[0.8em]&= \frac{1}{12} + \frac{1}{120} \\[0.8em] &= \frac{11}{120} \approx 0{,}092 = 9{,}2\,\%\end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Baumdiagramm, Pfadregeln

Baumdiagramm: Tütchen mit 5 weißen, 2 roten und 3 grünen Gummibärchen, 3 Gummibärchen werden zufällig entnommen

Es genügt die Betrachtung der beiden äußeren relevanten Pfade.

Drei weiße Gummibärchen (linker Pfad):

Aus einer Tüte mit 10 Gummibärchen, von denen 5 weiß sind, wird ein weißes Gummibärchen entnommen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt \(\frac{5}{10}\). Es verbleiben 9 Gummibärchen, von denen 4 weiß sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein zweites weißes Gummibärchen zu entnehmen, beträgt dann \(\frac{4}{9}\). Es verbleiben 8 Gummibärchen, von denen 3 weiß sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein drittes weißes Gummibärchen zu entnehmen, beträgt schließlich \(\frac{3}{8}\).

Die Beschreibung gilt analog für die drei grünen Gummibärchen (rechter Pfad).

Mithilfe der Pfadregeln ergibt sich:

\[\begin{align*}&\quad \;\,P(\text{„Die drei Gummibärchen haben die gleiche Farbe"}) \\[0.8em] &= \underbrace{\underbrace{\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}}_{\text{1 Pfadregel}} + \underbrace{\textcolor{#89ba17}{\frac{3}{10}} \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{2}{9}} \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{8}}}_{\text{1. Pfadregel}}}_{\text{2. Pfadregel}} \\[0.8em] &= \frac{1}{12} + \frac{1}{120} \\[0.8em] &= \frac{11}{120} \approx 0{,}092 = 9{,}2\,\%\end{align*}\]

 

Bildnachweis (Montage): Amberrose Nelson auf Pixabay

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