Teilaufgabe 2a

Vor dem Verpacken werden die verschiedenfarbigen Gummibärchen in großen Behältern gemischt, wobei der Anteil der roten Gummibärchen 25 % beträgt. Ein Verpackungsautomat füllt jeweils 50 Gummibärchen aus einem der großen Behälter in eine Tüte.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufällig ausgewählten Tüte mehr als ein Drittel der Gummibärchen rot ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Es wird angenommen, dass sich die Aufgabenstellung mit der Binomialverteilung modellieren lässt (Bitte Anmerkung beachten).

\(n = 50\) (Anzahl der Gummibärchen pro Tüte)

\(p = 0{,}25\) (Anteil roter Gummibärchen)

 

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der roten Gummibärchen in einer zufällig ausgewählten Tüte beschreibt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(50;0{,}25)\) binomialverteilt (vgl. Anmerkung)

Ein Drittel von 50 (Gummibärchen) berechnen:

 

\[\frac{1}{3} \cdot 50 = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}\]

\[\Rightarrow \enspace X > 16\frac{2}{3} \enspace \Rightarrow \enspace X \geq 17\]

Durch die Betrachtung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses „Weniger als ein Drittel der Gummibärchen einer Tüte ist rot" lässt sich die Wahrscheinlichkeitsberechnung auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückführen, welche im Stochastischen Tafelwerk (ST) in der rechten Spalte tabellarisiert ist.

\[\begin{align*}P_{0{,}25}^{50}(X \geq 17) &= 1 - \textcolor{#0087c1}{P_{0{,}25}^{50}(X \leq 16)} \\[0.8em] &= 1 - \textcolor{#0087c1}{\sum \limits_{I\,=\,0}^{16}B(50;0{,}25;i)} \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - \textcolor{#0087c1}{0{,}90169} \\[0.8em] &= 0{,}09831 \approx 9{,}8\,\%\end{align*}\]

 

(vgl. ABITUR SKRIPT - Lernhilfen - Stochastik - Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten einer nach \(B(n;p)\)) binomialverteilten Zufallsgröße)

 

Anmerkung:

Die Formulierung „... werden ... in großen Behältern gemischt" soll assoziieren, dass das Abfüllen von jeweils 50 Gummibärchen aus einer großen Anzahl verschiedenfarbiger Gummibärchen erfolgt, und sich die beschriebene Aufgabenstellung deshalb mit der Binomialverteilung modellieren lässt. Andernfalls ist diese Aufgabe nach dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen" aufgrund fehlender Informationen nicht lösbar.

Nun muss sich in einem „großen Behälter" aber nicht zwangsläufig eine große Anzahl an Gummibärchen befinden, weshalb unter anderem diese Aufgabe im Rahmen der Petition zum Mathematik Abitur Bayern 2021 bzw. der Analyse der Prüfungsaufgaben in die Kritik geraten ist.

Die Formulierung „... werden ... in Behältern in großer Stückzahl gemischt" würde dagegen eindeutig eine Modellierung mit der Binomialverteilung begründen.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1 Teilaufgabe 2b »

Kommentare (0)

Bisher wurden hier noch keine Kommentare veröffentlicht

Einen Kommentar verfassen

  1. Du kannst als Gast einen Kommentar veröffentlichen. Um alle Kommentarfunktionen verwenden zu können, registriere bitte ein Benutzerkonto. oder melde Dich an.
Anhänge (0 / 3)
Deinen Standort teilen
Gib bitte den Text aus dem Bild ein.