Teilaufgabe 3a

Das Süßwarenunternehmen produziert auch zuckerreduzierte und vegane Fruchtgummis und bringt diese in entsprechend gekennzeichneten Tüten in den Handel.

Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind. 42 % der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich auch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Insgesamt sind 63 % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(V\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als vegan gekennzeichnet."

\(R\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als zuckerreduziert gekennzeichnet."

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(\overline{R}\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

\(V\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als vegan gekennzeichnet."

\(R\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als zuckerreduziert gekennzeichnet."

 

Analyse der Angabe:

„Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind."

\[\Rightarrow \enspace P(\overline{V}) = 3 \cdot P(V)\]

 

42 % der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich auch als zuckerreduziert gekennzeichnet."

\[\Rightarrow \enspace P_{V}(R) = 0{,}42\]

„Insgesamt sind 63 % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet."

\[\Rightarrow \enspace P(\overline{V} \cap \overline{R}) = 0{,}63\]

 

1. Möglichkeit: Baumdiagramm

Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Informationen

Nach der 1. bzw. 2. Pfadregel gilt:

1. Pfadregel: \(\textcolor{#0087c1}{P(V \cap \overline{R})} = \textcolor{#0087c1}{P(V)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_{V}(\overline{R})}\)

2. Pfadregel: \(\textcolor{#0087c1}{P(\overline{R})} = \textcolor{#0087c1}{P(V \cap \overline{R})} + \textcolor{#0087c1}{P(\overline{V} \cap \overline{R})}\)

 

\(\textcolor{#0087c1}{P(V)}\) und \(\textcolor{#0087c1}{P_{V}(\overline{R})}\) mithilfe der Knotenregel berechnen:

\[\begin{align*}P(V) + P(\overline{V}) &= 1 \\[0.8em] P(V) + 3 \cdot P(V) &= 1\\[0.8em]4 \cdot P(V) &= 1 &&| : 4 \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{P(V)} &= \textcolor{#0087c1}{0{,}25}\end{align*}\]

 

\[\begin{align*} P_{V}(R) + P_{V}(\overline{R}) &= 1 &&| - P_{V}(R)\\[0.8em] P_{V}(\overline{R}) &= 1 - P_{V}(R) \\[0.8em] P_{V}(\overline{R})&= 1 - 0{,}42 \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{P_{V}(\overline{R})}&= \textcolor{#0087c1}{0{,}58} \end{align*}\]

 

B2021 PT B S2 3a 2

 

Wahrscheinlichkeit \(P(\overline{R})\) berechnen:

\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{P(\overline{R})} &= \textcolor{#0087c1}{P(V \cap \overline{R})} + \textcolor{#0087c1}{P(\overline{V} \cap \overline{R})} \\[0.8em] &= \underbrace{\underbrace{P(V) \cdot P_{V}(\overline{R})}_{\text{1. Pfadregel}} + P(\overline{V}\cap \overline{R})}_{\text{2. Pfadregel}} \\[0.8em] &=\textcolor{#0087c1}{0{,}25} \cdot \textcolor{#0087c1}{0{,}58}+ \textcolor{#0087c1}{0{,}63} \\[0.8em] &= 0{,}775\end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Vierfeldertafel (der Wahrscheinlichkeiten)

\[\textcolor{#0087c1}{P(\overline{V})} = \textcolor{#0087c1}{3 \cdot P(V)}\]

\(P_{V}(R) = 0{,}42\) (Kann nicht in die Vierfeldertafel eingetragen werden.)

\[\textcolor{#0087c1}{P(\overline{V} \cap \overline{R})} = \textcolor{#0087c1}{0{,}63}\]

 

  \(V\) \(\overline{V}\)  
\(R\) \(\textcolor{#e9b509}{P(V \cap R)}\) \(\) \(\)
\(\overline{R}\) \(\) \(\textcolor{#0087c1}{0{,}63}\) \(\)
  \(\textcolor{#0087c1}{P(V)}\) \(\textcolor{#0087c1}{3 \cdot P(V)}\) \(1\)

Um mit der Vierfeldertafel arbeiten zu können, wird zunächst \(\textcolor{#0087c1}{P(V)}\) und \(\textcolor{#e9b509}{P(V\cap R)}\) berechnet.

 

\[\begin{align*}P(V) + P(\overline{V}) &= 1 \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{P(V)} + \textcolor{#0087c1}{3 \cdot P(V)} &= 1\\[0.8em]4 \cdot P(V) &= 1 &&| : 4 \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{P(V)} &= \textcolor{#0087c1}{0{,}25}\end{align*}\]

\[\begin{align*} P_{V}(R) = \frac{\textcolor{#e9b509}{P(V \cap R)}}{\textcolor{#0087c1}{P(V)}} &= 0{,}42 &&| \cdot P(V) \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{P(V \cap R)} &= 0{,}42 \cdot \textcolor{#0087c1}{P(V)} \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{P(V \cap R)} &= 0{,}42 \cdot \textcolor{#0087c1}{0{,}25} \\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{0{,}105} \end{align*}\]

 

  \(V\) \(\overline{V}\)  
\(R\) \(\textcolor{#e9b509}{0{,}105}\) \(\) \(\)
\(\overline{R}\) \(\) \(\textcolor{#0087c1}{0{,}63}\) \(\)
  \(\textcolor{#0087c1}{0{,}25}\) \(\textcolor{#0087c1}{0{,}75}\) \(1\)

 

Durch spalten- bzw. zeilenweises Subtrahieren bzw. Addieren ergibt sich:

 

\[P(V \cap \overline{R}) = \textcolor{#0087c1}{P(V)} - \textcolor{#e9b509}{P(V \cap R)} = \textcolor{#0087c1}{0{,}25} - \textcolor{#e9b509}{0{,}105} = 0{,}145\]

 

  \(V\) \(\overline{V}\)  
\(R\) \(0{,}105\) \(\) \(\)
\(\overline{R}\) \(0{,}145\) \(\textcolor{#0087c1}{0{,}63}\) \(\)
  \(\textcolor{#0087c1}{0{,}25}\) \(\textcolor{#0087c1}{0{,}75}\) \(1\)

 

\[P(\overline{R}) = P(V \cap \overline{R}) + \textcolor{#0087c1}{P(\overline{V}\cap\overline{R})} = 0{,}145 + \textcolor{#0087c1}{0{,}63} = 0{,}775\]

 

  \(V\) \(\overline{V}\)  
\(R\) \(0{,}105\) \(\) \(\)
\(\overline{R}\) \(0{,}145\) \(\textcolor{#0087c1}{0{,}63}\) \(0{,}775\)
  \(\textcolor{#0087c1}{0{,}25}\) \(\textcolor{#0087c1}{0{,}75}\) \(1\)
Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2c Teilaufgabe 3b »

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