Teilaufgabe 4b

Ohne Kenntnis des Erwartungswerts ist die Varianz in der Regel nicht aussagekräftig. Daher wird für den Vergleich verschiedener Zufallsgrößen oft der Quotient aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert betrachtet, der als relative Standardabweichung bezeichnet wird.

Die Zufallsgröße \(Y_{n}\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln von \(n\) Losen sichtbar werden. Es gilt \(E(Y_{n}) = n\) und \(Var(Y_{n}) = n\). Bestimmen Sie den Wert von \(n\), für den die relative Standardabweichung 5 % beträgt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

\(Y_{n}\): Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln von \(n\) Losen sichtbar werden.

Erwartungswert von \(Y_{n}\): \(E(Y_{n}) = n\)

Varianz von \(Y_{n}\): \(Var(Y_{n})=n\)

Relative Standardabweichung: \(\textcolor{#e9b509}{\dfrac{\sigma}{E(Y_{n})}}\) (Quotient aus Standardabweichung und Erwartungswert)

 

Die relative Standardabweichung soll 5 % betragen. Mit \(\sigma = \sqrt{Var(Y_{n})}\) (vgl. Merkhilfe) folgt:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{\frac{\sigma}{E(Y_{n})}} &= \textcolor{#0087c1}{0{,}05}&&|\;\sigma = \sqrt{Var(Y_{n})} \\[0.8em] \frac{\sqrt{Var(Y_{n})}}{E(Y_{n})} &= 0{,}05&&| \;E(Y_{n})=n; \;Var(Y_{n})=n\\[0.8em] \frac{\sqrt{n}}{n} &=0{,}05&&|\; n = \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \\[0.8em] \frac{1}{\sqrt{n}} &=0{,}05 &&| \cdot \sqrt{n} \\[0.8em] 1&=0{,}05 \cdot \sqrt{n} &&| \;(\dots)^{2}\;\text{(Quadrieren)} \\[0.8em] 1 &=0{,}0025 \cdot n &&| : 0{,}0025 \\[0.8em] 400&=n\end{align*}\]

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