Teilaufgabe 1
Lösung zu Teilaufgabe 1
Nullstellen einer Funktion
\[a(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (e^x - 2) \cdot (x^3 - 2x) = 0\]
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Ersten Faktor gleich Null setzen:
\[ \begin{align*} e^x - 2 &= 0 & &| +2 \\[0.8em] e^x &= 2 & &| \ln(\dots) \\[0.8em] x &= \ln 2 \end{align*} \]
\[\Longrightarrow \quad x_{N_1} = \ln 2\]
Zweiten Faktor gleich Null setzen:
\[x^3 - 2x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \cdot (x^2 - 2) = 0\]
\[\Longrightarrow \quad x_{N_2} = 0\]
\[ \begin{align*} x^2 - 2 &= 0 & &| +2 \\[0.8em] x^2 &= 2 & &| \sqrt{\quad} \\[0.8em] x &= \pm \sqrt{2} \end{align*} \]
\[ \Longrightarrow \quad x_{N_3} = - \sqrt{2}; \quad x_{N_4} = + \sqrt{2} \]
Die Nullstellen der Funktion \(a\) sind:
\[x_{N_1} = \ln 2\,; \enspace x_{N_2} = 0\,; \enspace x_{N_3} = - \sqrt{2}\,; \enspace x_{N_4} = + \sqrt{2}\]
