Teilaufgabe 1

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(a \, \colon x \mapsto \left( e^x - 2 \right) \cdot \left( x^3 - 2x \right)\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\).

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

Nullstellen einer Funktion

 

\[a(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (e^x - 2) \cdot (x^3 - 2x) = 0\]

 

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

 

Ersten Faktor gleich Null setzen:

 

\[ \begin{align*} e^x - 2 &= 0 & &| +2 \\[0.8em] e^x &= 2 & &| \ln(\dots) \\[0.8em] x &= \ln 2 \end{align*} \]

\[\Longrightarrow \quad x_{N_1} = \ln 2\]

 

Zweiten Faktor gleich Null setzen:

 

\[x^3 - 2x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \cdot (x^2 - 2) = 0\]

\[\Longrightarrow \quad x_{N_2} = 0\]

 

\[ \begin{align*} x^2 - 2 &= 0 & &| +2 \\[0.8em] x^2 &= 2 & &| \sqrt{\quad} \\[0.8em] x &= \pm \sqrt{2} \end{align*} \]

\[ \Longrightarrow \quad x_{N_3} = - \sqrt{2}; \quad x_{N_4} = + \sqrt{2} \]

 

Die Nullstellen der Funktion \(a\) sind:

\[x_{N_1} = \ln 2\,; \enspace x_{N_2} = 0\,; \enspace x_{N_3} = - \sqrt{2}\,; \enspace x_{N_4} = + \sqrt{2}\]

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