Teilaufgabe 2
Lösung zu Teilaufgabe 2
Definitionsbereich \(D\)
\[b(x) = \frac{\ln x}{x - 2}\]
Betrachtung des Zählerterms \(\ln x\):
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^+\) definiert.
Nullstelle des Nennerterms:
\[ \begin{align*} x - 2 &= 0 &{} &| +2 \\[0.8em] x &= 2 \end{align*} \]
\(\Longrightarrow \quad x = 2\) ist Polstelle der Funktion \(b\).
\[ \Longrightarrow \quad D = \mathbb R^+ \backslash \{2\} \]
Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\)
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
\[T\,\colon\, y = b'(x_{0}) \cdot (x - x_0) + b(x_0)\]
\[x_0 = 1\]
Erste Ableitung \(b'\) bilden:
\[\begin{align*}b(x) = \frac{\ln x}{x - 2} \quad \Longrightarrow \quad b'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot (x - 2) - \ln x \cdot 1}{(x -2)^2} \\[0.8em] &= \frac{\frac{x - 2}{x} - \ln x}{(x - 2)^2} \end{align*}\]
\(b'(1)\) und \(b(1)\) berechnen:
\[b'(1) = \frac{\frac{1 - 2}{1} - \ln 1}{(1 - 2)^2} = -1\]
\[b(1) = \frac{\ln 1}{1 - 2} = 0\]
\(x_0 = 1\), \(b'(1) = -1\) und \(b(1) = 0\) in die Tangentengleichung einsetzen:
\[\begin{align*} y &= b'(x_{0}) \cdot (x - x_0) + b(x_0) \\[0.8em] &= (-1) \cdot (x - 1) + 0 \\[0.8em] &= -x + 1\end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 1\]
2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
\[T\,\colon\, y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(1|b(1))\]
\[b(1) = \frac {\ln 1}{1 - 2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad P\,(1|0)\]
Tangentensteigung bestimmen:
\[m_{T} = b'(1)\]
Erste Ableitung \(b'\) bilden:
\[\begin{align*}b(x) = \frac{\ln x}{x - 2} \quad \Longrightarrow \quad b'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot (x - 2) - \ln x \cdot 1}{(x -2)^2} \\[0.8em] &= \frac{\frac{x - 2}{x} - \ln x}{(x - 2)^2} \end{align*}\]
\[b'(1) = \frac{\frac{1 - 2}{1} - \ln 1}{(1 - 2)^2} = -1\]
\[\Longrightarrow \quad m_{T} = -1\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
\[\begin{align*}P\,(1|0) \in T\,\colon & & y &= -x + t \\[0.8em] & & 0 &= -1 + t & &| + 1 \\[0.8em] & & 1 &= t\end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 1\]
Tangente \(T\) an den Graphen von \(b\) im Punkt \(P\,(1|0)\)
