Teilaufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle b\,\colon x \mapsto \frac{\ln x}{x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\).

(6 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Definitionsbereich \(D\)

 

\[b(x) = \frac{\ln x}{x - 2}\]

 

Betrachtung des Zählerterms \(\ln x\):

Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^+\) definiert.

 

Nullstelle des Nennerterms:

 

\[ \begin{align*} x - 2 &= 0 &{} &| +2 \\[0.8em] x &= 2 \end{align*} \]

\(\Longrightarrow \quad x = 2\) ist Polstelle der Funktion \(b\).

 

\[ \Longrightarrow \quad D = \mathbb R^+ \backslash \{2\} \]

 

Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\)

 

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[T\,\colon\, y = b'(x_{0}) \cdot (x - x_0) + b(x_0)\]

\[x_0 = 1\]

 

Erste Ableitung \(b'\) bilden:

\[\begin{align*}b(x) = \frac{\ln x}{x - 2} \quad \Longrightarrow \quad b'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot (x - 2) - \ln x \cdot 1}{(x -2)^2} \\[0.8em] &= \frac{\frac{x - 2}{x} - \ln x}{(x - 2)^2} \end{align*}\]

 

\(b'(1)\) und \(b(1)\) berechnen:

 

\[b'(1) = \frac{\frac{1 - 2}{1} - \ln 1}{(1 - 2)^2} = -1\]

\[b(1) = \frac{\ln 1}{1 - 2} = 0\]

 

\(x_0 = 1\), \(b'(1) = -1\) und \(b(1) = 0\) in die Tangentengleichung einsetzen:

 

\[\begin{align*} y &= b'(x_{0}) \cdot (x - x_0) + b(x_0) \\[0.8em] &= (-1) \cdot (x - 1) + 0 \\[0.8em] &= -x + 1\end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 1\]

 

2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T\,\colon\, y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(1|b(1))\]

 

\[b(1) = \frac {\ln 1}{1 - 2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad P\,(1|0)\]

 

Tangentensteigung bestimmen:

\[m_{T} = b'(1)\]

  

Erste Ableitung \(b'\) bilden:

\[\begin{align*}b(x) = \frac{\ln x}{x - 2} \quad \Longrightarrow \quad b'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot (x - 2) - \ln x \cdot 1}{(x -2)^2} \\[0.8em] &= \frac{\frac{x - 2}{x} - \ln x}{(x - 2)^2} \end{align*}\]

 

\[b'(1) = \frac{\frac{1 - 2}{1} - \ln 1}{(1 - 2)^2} = -1\]

\[\Longrightarrow \quad m_{T} = -1\]

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + t\]

  

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

  

\[\begin{align*}P\,(1|0) \in T\,\colon & & y &= -x + t \\[0.8em] & & 0 &= -1 + t & &| + 1 \\[0.8em] & & 1 &= t\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 1\]

 

Tangente an den Graphen der Funktion b im Punkt P(1|0)

Tangente \(T\) an den Graphen von \(b\) im Punkt \(P\,(1|0)\)

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