Teilaufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(\displaystyle d\,\colon x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}\). Bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von \(d\), deren Graph durch den Punkt \((4|-1)\) verläuft.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 4

 

\[d(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\,; \quad D = \mathbb R^+\]

\[P\,(4|-1)\]

 

Stammfunktionen von \(d\) bestimmen:

 

\[d(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}\]

\[\begin{align*} D(x) &= \frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} \cdot x^{-\frac{1}{2} + 1} + C \\[0.8em] &= 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + C \\[0.8em] &= 2\sqrt{x} + C \end{align*}\]

 

Die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(d\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int d(x)\,dx\).

 

\[\Longrightarrow \quad \int d(x)\,dx = 2\sqrt{x} + C\]

 

Wert der Integrationskonstante \(C\) bestimmen:

Die Bedingung, dass der Graph einer Stammfunktion von \(d\) durch den Punkt \(P\,(4|-1)\) verlaufen soll, legt den Wert der Integrationskonstanten \(C\) fest.

 

\[D(x) = 2\sqrt{x} + C\]

 

\[\begin{align*} P \in D\,\colon\; -1 &= 2\sqrt{4} + C \\[0.8em] -1 &= 4 + C & &| -4 \\[0.8em] -5 &= C \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{-5}(x) = 2\sqrt{x} - 5\,; \quad D = \mathbb R^+\]

 

Graph derjenigen Stammfunktion von d, der durch den Punkt P(4|-1) verläuft

Graph der Stammfunktion \(D_{-5}\), welcher durch den Punkt \(P(4|-1)\) verläuft.

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