Mathematik Beispiel-Abitur Bayern 2014 A Analysis 2 - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe 1

Gegeben sind die folgenden Funktionen mit jeweils maximaler Definitionsmenge:

\(p\,\colon x \mapsto \dfrac{1}{x - 1} \qquad \qquad \\ \) \(q\,\colon x \mapsto \sqrt{x - 1} \qquad \qquad \\ \) \(r\,\colon x \mapsto \ln (x - 1)\)

Geben Sie jeweils die Definitionsmenge an und untersuchen Sie die Funktionen auf Nullstellen.

(5 BE)

Teilaufgabe 2

An den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s\,\colon x \mapsto x^2\) gibt es genau eine Tangente, deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse eine Größe von 135° hat. Geben Sie die Steigung dieser Tangente an und bestimmen Sie anschließend die Gleichung der Tangente.

(5 BE) 

Teilaufgabe 3a

Der Graph einer in \(\mathbb R\) definierten integrierbaren Funktion \(t\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Begründen Sie, dass für alle \(a \in \mathbb R\) gilt: \(\displaystyle \int_{-a}^{a} t(x)\,dx = 0\).

(3 BE) 

Teilaufgabe 3b

Geben Sie einen möglichen Term der Funktion \(t\) an. Zeigen Sie für dieses \(t\) die Gültigkeit der Aussage aus Aufgabe 3a durch Integration mithilfe einer Stammfunktion.

(4 BE) 

Teilaufgabe 4

Einer der folgenden Terme nähert den Term der in \(\mathbb R \, \backslash \{0\}\) definierten Funktion \(u \,\colon x \mapsto \frac{1}{x} + x + 1\) für große Werte von \(x\) am besten. Geben Sie diesen Term an und machen Sie Ihre Antwort plausibel.

\(\textsf{I} \enspace \dfrac{1}{x} \qquad \qquad \\ \) \(\textsf{II} \enspace x \qquad \qquad \\ \) \(\textsf{III} \enspace x + 1 \qquad \qquad \\ \) \(\textsf{IV} \enspace \dfrac{1}{x} + 1 \qquad \qquad \\ \) \(\textsf{V} \enspace \dfrac{1}{x} + x\)

(3 BE)