Teilaufgabe 1

Gegeben sind die folgenden Funktionen mit jeweils maximaler Definitionsmenge:

\(p\,\colon x \mapsto \dfrac{1}{x - 1} \qquad \qquad \\ \) \(q\,\colon x \mapsto \sqrt{x - 1} \qquad \qquad \\ \) \(r\,\colon x \mapsto \ln (x - 1)\)

Geben Sie jeweils die Definitionsmenge an und untersuchen Sie die Funktionen auf Nullstellen.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

Maximale Definitionsmenge der Funktionen

 

\[p(x) = \frac{1}{x - 1}\]

Die Nullstelle des Nennerterms schränkt den Definitionsbereich der Funktion \(p\) ein.

\[x - 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 1 \quad \Longrightarrow \quad D_{p} = \mathbb R\; \backslash\; \{1\}\]

 

\[q(x) = \sqrt{x - 1}\]

Der Wertebereich des Radikanden bestimmt den Definitionsbereich der Funktion \(q\).

\[x - 1 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 1 \quad \Longrightarrow \quad D_{q} = [1; \infty[\]

 

\[r(x) = \ln(x - 1)\]

Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion legt den Definitionsbereich der Funktion \(r\) fest.

\[x - 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 1 \quad \Longrightarrow \quad D_{r} = ]1; \infty[\]

 

Nullstellen der Funktionen

 

\[\begin{align*}p(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{x - 1} &= 0\end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad 1 \ne 0 \quad \Longrightarrow \quad\) Die Funktion \(p\) hat keine Nullstelle.

 

\[\begin{align*}q(x) &= 0 \\[0.8em] \sqrt{x - 1} &= 0 & &| \; (\dots)^2 \\[0.8em] x - 1 &= 0 & &| +1 \\[0.8em] x = 1\end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad x = 1\) ist einzige Nullstelle der Funktion \(q\).

 

\[\begin{align*}r(x) &= 0 \\[0.8em] \ln(x - 1) &= 0 & &| \; \ln 1 = 0 \\[0.8em] x - 1 &= 1 & &| +1 \\[0.8em] x &= 2\end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad x = 2\) ist einzige Nullstelle der Funktion \(r\).

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