Teilaufgabe 2
Lösung zu Teilaufgabe 2
\[s(x) = x^2\,; \quad D_f = \mathbb R\]
Es sei \(T\) die Tangente an die Funktion \(s\), deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse \(135^{\circ}\) beträgt. Für die Tangentensteigung \(m_T\) gilt:
\[m_T = \tan{135^{\circ}} = -1\]
Tangentensteigung \(m_T\) im Berührpunkt \(P\,(\,x_P\,|\,s(x_P)\,)\):
\[m_T = s'(x_p)\]
\[s'(x_p) = -1\]
Erste Ableitung \(s'(x)\) bilden:
\[s(x) = x^2 \quad \Longrightarrow \quad s'(x) = 2x\]
Koordinaten des Berührungspunktes \(P\) bestimmen:
\[\begin{align*} s'(x_P) &= -1 \\[0.8em] 2x_P &= -1 \\[0.8em] x_P &= -0{,}5 \end{align*}\]
\[s(x_P) = (-0{,}5)^2 = 0{,}25\]
\[\Longrightarrow \quad P\,(-0{,}5|0{,}25)\]
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
\[x_P = -0{,}5\,, \quad s(x_P) = 0{,}25\,, \quad s'(x_P) = -1\]
\[ \begin {align*} y &= s'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + s(x_{P}) \\[0.8em] &= (-1) \cdot (x + 0{,}5) + 0{,}25 \\[0.8em] &= -x -0{,}5 + 0{,}25 \\[0.8em] &= -x - 0{,}25 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x -0{,}25\]
2. Lösungsansatz: Allgemeinen Geradengleichung
\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(-0{,}5|0{,}25)\]
\[m_{T} = \tan 135^{\circ} = -1\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
\[\begin{align*} P\,(-0{,}5|0{,}25) \in T\,\colon & &y &= -x + t \\[0.8em] & & 0{,}25 &= 0{,}5 + t & &| -0{,}5 \\[0.8em] & & -0{,}25 &= t\end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x -0{,}25\]
Tangente \(T\) an den Graphen von \(s\), deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse \(135^\circ\) beträgt.
