Teilaufgabe 2

An den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s\,\colon x \mapsto x^2\) gibt es genau eine Tangente, deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse eine Größe von 135° hat. Geben Sie die Steigung dieser Tangente an und bestimmen Sie anschließend die Gleichung der Tangente.

(5 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

\[s(x) = x^2\,; \quad D_f = \mathbb R\]

 

Es sei \(T\) die Tangente an die Funktion \(s\), deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse \(135^{\circ}\) beträgt. Für die Tangentensteigung \(m_T\) gilt:

\[m_T = \tan{135^{\circ}} = -1\]

 

Tangentensteigung \(m_T\) im Berührpunkt \(P\,(\,x_P\,|\,s(x_P)\,)\):

\[m_T = s'(x_p)\]

 

\[s'(x_p) = -1\]

 

Erste Ableitung \(s'(x)\) bilden:

\[s(x) = x^2 \quad \Longrightarrow \quad s'(x) = 2x\]

 

Koordinaten des Berührungspunktes \(P\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} s'(x_P) &= -1 \\[0.8em] 2x_P &= -1 \\[0.8em] x_P &= -0{,}5 \end{align*}\]

 

\[s(x_P) = (-0{,}5)^2 = 0{,}25\]

 

\[\Longrightarrow \quad P\,(-0{,}5|0{,}25)\]

 

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[x_P = -0{,}5\,, \quad s(x_P) = 0{,}25\,, \quad s'(x_P) = -1\]

 

\[ \begin {align*} y &= s'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + s(x_{P}) \\[0.8em] &= (-1) \cdot (x + 0{,}5) + 0{,}25 \\[0.8em] &= -x -0{,}5 + 0{,}25 \\[0.8em] &= -x - 0{,}25 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x -0{,}25\]

 

2. Lösungsansatz: Allgemeinen Geradengleichung

\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(-0{,}5|0{,}25)\]

\[m_{T} = \tan 135^{\circ} = -1\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

 

\[\begin{align*} P\,(-0{,}5|0{,}25) \in T\,\colon & &y &= -x + t \\[0.8em] & & 0{,}25 &= 0{,}5 + t & &| -0{,}5 \\[0.8em] & & -0{,}25 &= t\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x -0{,}25\]

 

Tangente t an den Graphen der Funktion s, deren Neigungswinkel gegen die x-Achse 135° beträgt.

Tangente \(T\) an den Graphen von \(s\), deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse \(135^\circ\) beträgt.

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