Teilaufgabe 3a
Lösung zu Teilaufgabe 3a
Bestimmtes Integral als Flächenbilanz
Bei einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion \(t\) sind die Flächenstücke, die der Graph von \(t\) in den Intervallen \([-a; 0]\) und \([0; a]\) mit der \(x\)-Achse einschließt gleich groß.
Die Lage der Flächenstücke ist bzüglich der \(x\)-Achse vertauscht (unterhalb/oberhalb der \(x\)-Achse). In der Berechnung des Integrals erhalten die Flächeninhalte somit entgegengestzte Vorzeichen.
Folglich ergibt die Summe der Flächeninhalte eine Flächenbilanz gleich Null.
\[\int_{-a}^{a} t(x)\;dx = \int_{-a}^{0} t(x)\;dx + \int_{0}^{a} t(x)\;dx = 0\]
![Flächenbilanz des Graphen einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion t im Intervall [-a; a]](/images/stories/B2014BA_PT_A_A_2/B2014BA_PT_A_A_2_3a.png "Flächenbilanz des Graphen einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion t im Intervall [-a; a]")
Flächenbilanz des Graphen einer in \(\mathbb R\) definierten und bezüglich des Koordinatenursprungs punktsymmetrischen Funktion \(t\) im Intervall \([-a;a]\), \(a \in \mathbb R\)
