Teilaufgabe 3b

Geben Sie einen möglichen Term der Funktion \(t\) an. Zeigen Sie für dieses \(t\) die Gültigkeit der Aussage aus Aufgabe 3a durch Integration mithilfe einer Stammfunktion.

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Es bietet sich an, eine Potenzfunktion ungerader Ordnung mit natürlichem Exponenten zu wählen, da die Stammfunktionen von Potenzfunktionen einfach zu bestimmen sind.

Es sei \(t\, \colon \; \mapsto x^3\,,\enspace x \in \mathbb R\) die Funktion \(t\), deren Graph \(G_t\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

 

Nachweis der Punktsymmetrie:

\(t(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -t(x) \quad \Longrightarrow \quad\) \(G_t\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

 

Stammfunktion \(T(x)\) bestimmen:

\[t(x) = x^3 \quad \Longrightarrow \quad T(x) = \frac{1}{4} x^4 + C\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Für \(C = 0\) ist \(T(x) = \frac{1}{4}x^4\) eine Stammfunktion von \(t(x)\).

 

Bestimmtes Integral berechnen:

\[ \begin{align*} \int_{-a}^{a} x^3~dx &= \left [ \frac{1}{4}x^4 \right ]_{-a}^{a} \\[0.8em] &= \frac{1}{4}a^4 - \left ( \frac{1}{4} (-a)^4 \right ) \\[0.8em] &= \frac{1}{4}a^4 - \frac{1}{4} a^4 = 0 \end{align*}\]

 

Bei der zum Koordinatenursprung punktsymmetrischen Funktion t(x) = x³ ist die Summe der Flächeninhalte, die der Graph von t im Intervall [-a; a] mit der x-Achse einschließt, gleich Null.

Flächenbilanz des Graphen der zum Koordinatenursprung punktsymmetrischen Funktion \(t(x) = x^3\,\) im Intervall \([-a;a]\), \(a \in \mathbb R\): \(\displaystyle \;\int_{-a}^{a} x^3\;dx = 0\)

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