Teilaufgabe 1b

Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(P\,(2|3|-3)\) von \(E\).

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\,; \qquad P\,(2|3|-3)\]

 

Abstand eines Punktes von einer Ebene

\[E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end {pmatrix}\]

 

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(E\):

\[\vert \overrightarrow {n}_E \vert = \left| \begin {pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\]

 

Hesse'sche Normalenform der Ebene \(E\):

 

\[E^{HNF}\colon \enspace \frac{2x_1 - x_2 + 2x_3 - 4}{3} = 0\]

 

Abstand \(d\,(P; E)\) berechnen:

 

\[P\,(2|3|-3)\]

 

\[\begin {align*} d\,(P, E) &= \left| \frac{2p_1 - p_2 + 2p_3 - 4}{3} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{2 \cdot 2 - 3 + 2 \cdot (-3) - 4}{3} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{-9}{3} \right| \\[0.8em] &= 3 \end {align*} \]

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