Teilaufgabe 2

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Die Diagonalen eines Drachenvierecks stehen senkrecht aufeinander: \(\overline{AC} \perp \overline{BD}\). Die Strecke \([AC]\) des Dreicks \(ABC\) ist Symmetrieachse des Drachenvierecks \(ABCD\). Der Punkt \(D\) ist Spiegelpunkt des Punktes \(B\) an der Symmetrieachse \([AC]\).

 

1. Lösungsansatz mit Hilfsebene

 

 

1. Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschften \(B \in H\) und \(H \perp AC\) bestimmen:

 

\[\overrightarrow n_H = \overrightarrow{AC}\]

\[H \colon \enspace \overrightarrow{AC} \circ (\overrightarrow B - \overrightarrow X) = 0\]

 

2. Schnittpunkt \(S\) der Hilfsebene \(H\) mit der Geraden \(AC\) ermitteln:

 

\[AC \colon \enspace \overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow{AC}\]

\[AC \cap H \colon \enspace \overrightarrow{AC} \circ (\overrightarrow B - \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow{AC}) = 0\]

\(\Longrightarrow \quad \lambda_S\;\) (Parameterwert für die Schnittpunktberechnung)

Parameterwert \(\lambda_S\) in \(AC\) einsetzen:

\[S \in AC \colon \enspace \overrightarrow S = \overrightarrow A + \lambda_S \cdot \overrightarrow{AC}\]

 

3. Koordinaten des Punktes \(D\) berechnen:

 

\(\overrightarrow D = \overrightarrow B + 2 \cdot \overrightarrow{BS}\enspace\) oder \(\enspace \overrightarrow D = \overrightarrow S + \overrightarrow{BS}\)

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarproduktes

 

 

Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(B\) auf die Gerade \(AC\).

 

Somit gilt: \(\enspace \overrightarrow{FB} \perp \overrightarrow{AC} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{FB} \circ \overrightarrow{AC} = 0\)

 

1. Vektor \(\overrightarrow{FB}\) allgemein beschreiben:

 

\[AC \colon \enspace \overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow{AC}\]

\[F \in AC \colon \enspace \overrightarrow F = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow{AC}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{FB} &= \overrightarrow B - \overrightarrow F \\[0.8em] &= \overrightarrow B - (\overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow{AC}) \end{align*}\]

 

2. Koordinaten des Lotfußpunktes \(F\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{FB} \circ \overrightarrow{AC} &= 0 \\[0.8em] \left[ \overrightarrow B - (\overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow{AC}) \right] \circ \overrightarrow{AC} &= 0 \end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad \lambda_F\;\) (Parameterwert für die Lotfußpunktberechnung)

Parameterwert \(\lambda_F\) in \(AC\) einsetzen:

\[F \in AC \colon \enspace \overrightarrow F = \overrightarrow A + \lambda_F \cdot \overrightarrow{AC}\]

 

3. Koordinaten des Punktes \(D\) berechnen:

 

\(\overrightarrow D = \overrightarrow B + 2 \cdot \overrightarrow{BF}\enspace\) oder \(\enspace \overrightarrow D = \overrightarrow F + \overrightarrow{BF}\)