Teilaufgabe 1b

Geben Sie eine Gleichung einer Geraden \(j\) an, die parallel zu \(H\) durch den Punkt \(Q\) verläuft.

(2 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[H\,\colon\; 2x_1 + x_2 - x_3 = 4\,; \qquad Q\,(-3|0|2)\]

 

Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}_j\) einer zur Ebene \(H\) parallelen Geraden \(j\) mit der Gleichung

\(j\,\colon\; \overrightarrow{X} = \overrightarrow{Q} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}_j\,;\enspace \lambda \in \mathbb R\)

muss senkrecht zum Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_H\) der Ebene \(H\) sein.

 

\[\overrightarrow{v}_j \perp \overrightarrow{n}_H \quad \Longrightarrow \quad j \parallel H\]

\[\overrightarrow{v}_j \perp \overrightarrow{n}_H \quad \Longleftrightarrow \quad\overrightarrow{v}_j \circ \overrightarrow{n}_H = 0\]

 

\[H\,\colon\; 2x_1 + x_2 - x_3 = 4 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_H = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}_j\) der Geraden \(j\) finden:

Beispielsweise gilt:

\[\displaystyle \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 = 0\]

oder

\[\displaystyle \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 = 0\]

 

Damit lautet die Gleichung einer zur Ebene \(H\) parallelen Geraden \(j\) beispielsweise:

\[j\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]

oder

\[j\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]

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