Teilaufgabe 1

Der Anteil der Linkshänder in der Bevölkerung Deutschlands beträgt ein Sechstel. Aus der Bevölkerung werden acht Personen zufällig ausgewählt. Zwei der folgenden Terme I bis VI beschreiben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf dieser Personen Linkshänder sind. Geben Sie diese beiden Terme an.

\[\textsf{I} \hspace{15px} \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)\]
\[\textsf{II} \hspace{7px} \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]
\[\textsf{III} \hspace{9px} 1 - \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5\]
\[\textsf{IV} \; \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3\]
\[\sf{V} \; \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]
\[\sf{VI} \; \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5\]

(2 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

Zufallsgröße \(X\colon\enspace\)„Anzahl der Linkshänder"

 

Analyse der Angabe:

 

„Der Anteil der Linkshänder in der Bevölkerung Deutschlands beträgt ein Sechstel."

\[\Longrightarrow \quad p = \frac{1}{6}\]

 

„Aus der Bevölkerung werden acht Personen zufällig ausgewählt."

\[\Longrightarrow \quad n = 8\]

 

„...beschreiben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf dieser Personen Linkshänder sind."

\[\Longrightarrow \quad X = 5\]

 

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(8;\frac{1}{6})\) binomialverteilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{6}}^{8}(X = 5) = B(8;\frac{1}{6};5)\).

Anwenden der Formel von Bernoulli:

\[P_{\frac{1}{6}}^{8}(X = 5) = \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{6} \right) \right]^{8 - 5} = \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Term \(\sf{V}\)

 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf der acht ausgewählten Personen Linkshänder sind, entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau drei der acht ausgewählten Personen keine Linkshänder, also Rechtshänder sind.

 

Zufallsgröße \(Y\colon\enspace\)„Anzahl der Rechtshänder"

 

\[n = 8; \quad Y = 3\]

 

Der Anteil der Rechtshänder in der Bevölkerung Deutschlands beträgt fünf Sechstel.

\[\Longrightarrow \quad p = \frac{5}{6}\]

 

Die Zufallsgröße \(Y\) ist nach \(B(8;\frac{5}{6})\) binomialverteilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{5}{6}}^{8}(Y = 3) = B(8;\frac{5}{6};3)\).

Anwenden der Formel von Bernoulli:

\[P_{\frac{5}{6}}^{8}(Y = 3) = \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left[ 1 - \left( \frac{5}{6} \right) \right]^{8 - 3} = \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Term \(\sf{I}\)

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(8;¹/₆) binomialverteilten Zufallsgröße X und Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(8;⁵/₆) binomialverteilten Zufallsgröße Y 

links: Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf der acht ausgewählten Personen Linkshänder sind.
(Term \(\sf{V}\))

 
rechts: Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau drei der acht ausgewählten Personen Rechtshänder sind.
(Term \(\sf{I}\))

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