Teilaufgabe b
Lösung zu Teilaufgabe b
Ereignisse:
\(A\): „Ein zufällig ausgewählter Angestellter gilt als aufgeschlossen"
\(R\): „Ein zufällig ausgewählter Angestellter hat eine nach rechts geneigte Handschrift"
Analyse der Angabe:
„In einem Unternehmen mit 50 Angestellten gelten 35 als aufgeschlossen."
\( \Longrightarrow \quad P(A) = \frac {35}{50} = 0{,}7\)
„40 % der als aufgeschlossen geltenden Angestellten haben eine Handschrift, die nicht nach rechts geneigt ist."
\(\Longrightarrow \quad P_A(\overline R) = 0{,}4\)
„Sechs Angestellte, die nicht als aufgeschlossen gelten, haben eine nach rechts geneigte Handschrift."
\(\Longrightarrow \quad P(\overline A \cap R) = \frac{6}{50} = 0{,}12\)
Baumdiagramm
Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse berechnen (Knotenregel anwenden):
\[P(\overline A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\]
\[P_A(R) = 1 - P_A(\overline R) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\]
Bedingte Wahrscheinlichkeiten der zweiten Pfade berechnen:
\[P_{\overline A}(R) = \frac{P(\overline A \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4\]
\[P_{\overline A}(\overline R) = 1 - P_{\overline A}(R) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\]
Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen berechnen (1. Pfadregel anwenden):
\[P(A \cap R) = P_A(R) \cdot P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42\]
\[P(A \cap \overline R) = P_A(\overline R) \cdot P(A) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28\]
\[P(\overline A \cap \overline R) = P_{\overline A}(\overline R) \cdot P(\overline A) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18\]
Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(R\) und \(\overline{R}\) berechnen (2. Pfadregel anwenden):
\[P(R) = P(A \cap R) + P(\overline A \cap R) = 0{,}42 + 0{,}12 = 0{,}54\]
\[P(\overline R) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46\]
Vierfeldertafel
Gegeben: \(P(A) = \frac {35}{50} = 0{,}7\)
\[P(\overline A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\]
\(R\) | \(\overline R\) | ||
\(A\) | \(P(A) = 0{,}7\) | ||
\(\overline A\) | \(P(\overline A) = 0{,}3\) | ||
\(1\) |
Gegeben: \(P(\overline A \cap R) = \frac{6}{50} = 0{,}12\)
\[P(\overline A \cap \overline R) = P(\overline A) - P(\overline A \cap R) = 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}18\]
\(R\) | \(\overline R\) | ||
\(A\) | \(P(A) = 0{,}7\) | ||
\(\overline A\) | \(P(\overline A \cap R) = 0{,}12\) | \(P(\overline A \cap \overline R) = 0{,}18\) | \(P(\overline A) = 0{,}3\) |
\(1\) |
Gegeben: \(P_A(\overline R) = 0{,}4\)
\[P_A(\overline R) = \frac{P(A \cap \overline R)}{P(A)} \Longleftrightarrow P(A \cap \overline R) = P_A(\overline R) \cdot P(A) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28\]
\[P(A \cap R) = P(A) - P(A \cap \overline R) = 0{,}7 - 0{,}28 = 0{,}42\]
\[P(R) = P(A \cap R) + P(\overline A \cap R) = 0{,}42 + 0{,}12 = 0{,}54\]
\[P(\overline R) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46\]
\(R\) | \(\overline R\) | ||
\(A\) | \(P(A \cap R) = 0{,}42\) | \(P(A \cap \overline R) = 0{,}28\) | \(P(A) = 0{,}7\) |
\(\overline A\) | \(P(\overline A \cap R) = 0{,}12\) | \(P(\overline A \cap \overline R) = 0{,}18\) | \(P(\overline A) = 0{,}3\) |
\(P(R) = 0{,}54\) | \(P(\overline R) = 0{,}46\) | \(1\) |