Teilaufgabe b

Stochastik 2

    Erstellen Sie zu der beschriebenen Situation ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm oder eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

    (4 BE) 

    Lösung zu Teilaufgabe b

     

    Ereignisse:

     

    \(A\): „Ein zufällig ausgewählter Angestellter gilt als aufgeschlossen"

    \(R\): „Ein zufällig ausgewählter Angestellter hat eine nach rechts geneigte Handschrift"

     

    Analyse der Angabe:

     

    „In einem Unternehmen mit 50 Angestellten gelten 35 als aufgeschlossen."

    \( \Longrightarrow \quad P(A) = \frac {35}{50} = 0{,}7\)

     

    „40 % der als aufgeschlossen geltenden Angestellten haben eine Handschrift, die nicht nach rechts geneigt ist."

    \(\Longrightarrow \quad P_A(\overline R) = 0{,}4\)

     

    „Sechs Angestellte, die nicht als aufgeschlossen gelten, haben eine nach rechts geneigte Handschrift."

    \(\Longrightarrow \quad P(\overline A \cap R) = \frac{6}{50} = 0{,}12\)

     

    Baumdiagramm

    Baumdiagramm, Wahrscheinlichkeiten gemäß Angabe

     

    Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse berechnen (Knotenregel anwenden):

    \[P(\overline A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\]

     

    \[P_A(R) = 1 - P_A(\overline R) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\]

     

    Baumdiagramm, ergänzt um die Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse

     

    Bedingte Wahrscheinlichkeiten der zweiten Pfade berechnen:

    \[P_{\overline A}(R) = \frac{P(\overline A \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4\]

     

    \[P_{\overline A}(\overline R) = 1 - P_{\overline A}(R) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\]

     

    Baumdiagramm, ergänzt um die bedingten Wahrscheinlichkeiten der zweiten Pfade

     

    Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen berechnen (1. Pfadregel anwenden):

    \[P(A \cap R) = P_A(R) \cdot P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42\]

     

    \[P(A \cap \overline R) = P_A(\overline R) \cdot P(A) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28\]

     

    \[P(\overline A \cap \overline R) = P_{\overline A}(\overline R) \cdot P(\overline A) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18\]

     

    Baumdiagramm, ergänzt um die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen

     

    Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(R\) und \(\overline{R}\) berechnen (2. Pfadregel anwenden):

    \[P(R) = P(A \cap R) + P(\overline A \cap R) = 0{,}42 + 0{,}12 = 0{,}54\]

     

    \[P(\overline R) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46\]

     

    Baumdiagramm, ergänzt um die Wahrscheinlichkeiten P(R) und P(nicht R)

     

    Vierfeldertafel

     

    Gegeben: \(P(A) = \frac {35}{50} = 0{,}7\)

     

    \[P(\overline A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\]

     

     \(R\)\(\overline R\) 
    \(A\)  \(P(A) = 0{,}7\)
    \(\overline A\)  \(P(\overline A) = 0{,}3\)
       \(1\)

     

    Gegeben: \(P(\overline A \cap R) = \frac{6}{50} = 0{,}12\)

     

    \[P(\overline A \cap \overline R) = P(\overline A) - P(\overline A \cap R) = 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}18\]

     

     \(R\)\(\overline R\) 
    \(A\)  \(P(A) = 0{,}7\)
    \(\overline A\)\(P(\overline A \cap R) = 0{,}12\)\(P(\overline A \cap \overline R) = 0{,}18\)\(P(\overline A) = 0{,}3\)
       \(1\)

     

    Gegeben: \(P_A(\overline R) = 0{,}4\)

     

    \[P_A(\overline R) = \frac{P(A \cap \overline R)}{P(A)} \Longleftrightarrow P(A \cap \overline R) = P_A(\overline R) \cdot P(A) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28\]

     

    \[P(A \cap R) = P(A) - P(A \cap \overline R) = 0{,}7 - 0{,}28 = 0{,}42\]

     

    \[P(R) = P(A \cap R) + P(\overline A \cap R) = 0{,}42 + 0{,}12 = 0{,}54\]

     

    \[P(\overline R) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46\]

     

     \(R\)\(\overline R\) 
    \(A\)\(P(A \cap R) = 0{,}42\)\(P(A \cap \overline R) = 0{,}28\)\(P(A) = 0{,}7\)
    \(\overline A\)\(P(\overline A \cap R) = 0{,}12\)\(P(\overline A \cap \overline R) = 0{,}18\)\(P(\overline A) = 0{,}3\)
     \(P(R) = 0{,}54\)\(P(\overline R) = 0{,}46\)\(1\)
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