Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(h\,\colon x \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + 2\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\). Der Graph von \(h\) wird mit \(G_h\) bezeichnet.

Geben Sie die Nullstellen von \(h\) an und zeichnen Sie \(G_h\) in ein Koordinatensystem ein.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Nullstellen der Funktion \(h\)

 

\[\begin{align*} h(x) &= 0 \\[0.8em] -\frac{1}{2}x^2 + 2 &= 0 & &| - 2 \\[0.8em] -\frac{1}{2}x^2 &= -2 & &| \cdot (-2) \\[0.8em] x^2 &= 4 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 2 \end{align*}\]

 

Nullstellen: \(x = -2\,, \enspace x = 2\)

 

Zeichnung des Graphen der Funktion \(h\)

 

Der Graph der Funktion \(h\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Öffnungsfaktor \(-\frac{1}{2}\), welche um 2 in \(y\)-Richtung verschoben ist.

\(\Longrightarrow \quad\) Scheitelpunkt \(S\,(0|2)\)

 

Der Scheitelpunkt lässt sich auch direkt der Scheitelpunktform der quadratische Funktion \(h\) entnehmen.

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2 = -\frac{1}{2}(x - 0)^2 + 2 \quad \Longrightarrow \quad S\,(0|2)\]

Graph der Funktion h

Graph der Funktion \(h\)

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