Teilaufgabe 1b

Dem Flächenstück, das \(G_h\) mit der \(x\)-Achse vollständig einschließt, werden Rechtecke so einbeschrieben, dass jeweils eine Seite des Rechtecks auf der \(x\)-Achse liegt. Berechnen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt \(A\) eines solchen Rechtecks.

(Ergebnis: \(A = \frac{16}{9}\sqrt{3}\))

(6 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Flächenstück, das der Graph der Funktion h mit der x-Achse einschließt und Beispiele einbeschriebener Rechtecke

Flächenstück, das \(G_{h}\) mit der \(x\)-Achse einschließt und Beispiele einbeschriebener Rechtecke

 

Flächeninhalt \(A\) der einbeschriebenen Rechtecke in Abhängigkeit von \(x\) bestimmen:

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2\,; \quad D = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} A(x) &= 2 \cdot x \cdot h(x) & & x \in [0; 2] \\[0.8em] &= 2x \cdot \left ( -\frac{1}{2}x^2 + 2 \right ) \\[0.8em] &= -x^3 + 4x \end{align*}\]

 

Notwendige Bedingung für maximalen Flächeninhalt:

 

\[A'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

Erste Ableitung \(A'\) bilden:

\[A'(x) = -3x^2 +4\]

 

\[\begin{align*}A'(x) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad -3x^2 + 4 &= 0 & &| -4 \\[0.8em] -3x^2 &= -4 & &| :(-3) \\[0.8em] x^2 &= \frac{4}{3} & &| \; \sqrt{\quad} \quad x \in [0;2] \\[0.8em] x &= \frac{2}{\sqrt{3}} & &| \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\[0.8em] x &= \frac{2}{3}\sqrt{3} \end{align*}\]

 

Für \(x = \frac{2}{3}\sqrt{3}\) ist der Flächeninhalt \(A\) des einbeschriebenen Rechtecks extremal.

 

Art des Extremums nachweisen:

Der Nachweis der Art des Extremums kann mithilfe des Monotoniekriterium oder mithilfe der zweiten Ableitung \(A''\) erfolgen.

\[\left. \begin{align*} &A'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x  < \frac{2}{3}\sqrt{3} \\[0.8em] &A'({\textstyle \frac{2}{3}\sqrt{3}}) = 0 \\[0.8em] &A'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > \frac{2}{3}\sqrt{3} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{lokales Maximum}\]

Zweite Ableitung \(A''\) bilden:

 

\[A'(x) = -3x^2 +4\]

\[A''(x) = -6x\]

 

\[A''({\textstyle \frac{2}{3}\sqrt{3}}) = -6 \cdot \frac{2}{3}\sqrt{3} = -4 \sqrt{3}\]

 

\[\left. \begin{align*} &A'({\textstyle \frac{2}{3}\sqrt{3}}) = 0 \\[0.8em] &A''({\textstyle \frac{2}{3}\sqrt{3}}) < 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{lokales Maximum}\]

 

Größtmöglichen Flächeninhalt \(A\) berechnen:

 

\[A(x) = -x^3 + 4x\]

 

\[\begin{align*} A({\textstyle \frac{2}{3}\sqrt{3}}) &= - \left (\frac{2}{3}\sqrt{3} \right)^3 + 4 \cdot \frac{2}{3}\sqrt{3} \\[0.8em] &= -\frac{8}{9}\sqrt{3} + \frac{8}{3}\sqrt{3} \\[0.8em] &= -\frac{8}{9}\sqrt{3} + \frac{24}{9}\sqrt{3} \\[0.8em] &= \frac{16}{9}\sqrt{3} \end{align*}\]

 

De Flächeninhalt \(A\) des größtmöglichen einbeschriebenen Rechtecks beträgt \(\frac{16}{9}\sqrt{3}\) FE (Flächeneinheiten).

Größtmögliches einbeschriebenes Rechteck mit Flächeninhalt A

Größtmögliches einbeschriebenes Rechteck mit Flächeninhalt \(A\)

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