Teilaufgabe 1c

Berechnen Sie den Anteil (in Prozent), den das Rechteck mit dem Flächeninhalt \(A\) am Inhalt des Flächenstücks einnimmt, das \(G_h\) mit der \(x\)-Achse vollständig einschließt.

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Flächenstück, das der Graph von h mit der x-Achse einschließt und größtmögliches einbeschriebenes Rechteck.

Flächeninhalt \(A_{h}\) des Flächenstücks, das der Graph von \(h\) mit der \(x\)-Achse einschließt und größtmögliches einbeschriebenes Rechteck mit Flächeninhalt \(A\).

 

Flächeninhalt \(A_{h}\) berechnen:

 

Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-2}^{2} h(x)\,dx\) errechnet den Flächeninhalt \(A_{h}\) des Flächenstücks, das \(G_{h}\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

 

\[A_{h} = \int_{-2}^{2}h(x)\,dx\]

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2\]

\[ \begin{align*} A_{h} &= \int_{-2}^{2} h(x)\,dx \\[0.8em] &= \int_{-2}^{2} \left ( -\frac{1}{2}x^2 + 2 \right ) dx \\[0.8em] &= \left [ -\frac{1}{6}x^3 + 2x \right ]^2_{-2} \\[0.8em] &= -\frac{1}{6} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 - \left ( -\frac{1}{6} \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2) \right ) \\[0.8em] &= -\frac{8}{6} + 4 - \left ( \frac{8}{6} - 4 \right ) \\[0.8em] &= \frac{16}{3} \end{align*} \]

 

Der Flächeninhalt \(A\) des größtmöglichen einbeschriebenen Rechtecks ist aus Teilaufgabe 1b bekannt:

 

\[A = \frac{16}{9} \sqrt{3}\]

 

Prozentualen Anteil des Rechtecks berechnen:

 

\[\frac{A}{A_{h}} = \frac{\frac{16}{9} \sqrt{3}}{\frac{16}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 = 57{,}7\, \%\]

 

Das größtmögliche einbeschriebene Rechteck nimmt ca. 57,7 % des Flächeninhalts des Flächenstücks ein, das \(G_{h}\) mit der \(x\)-Achse einschließt. 

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