Teilaufgabe 2a

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(p\,\colon x \mapsto e^{-\frac{1}{4}x}\) und \(q\,\colon x \mapsto e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \cos x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_q\) von \(q\) füe \(x \geq 0\).

Abbildung zu Teilaufgabe 2a, Graph der Funktion q

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten des Graphen von \(p\) und geben Sie das Verhalten von \(p\) für \(x \to +\infty\) und \(x \to -\infty\) an.

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[p(x) = e^{-\frac{1}{4}x}\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Monotonieverhalten des Graphen von \(p\)

Erste Ableitung \(p'\) bilden:

\[\begin{align*}p(x) = e^{-\frac{1}{4}x} \quad \Longrightarrow \quad p'(x) &= e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \left ( -\frac{1}{4} \right ) \\[0.8em] &= -\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}x}\end{align*}\]

 

Monotoniekriterium anwenden:

 

\[p'(x) = -\frac{1}{4} \underbrace{e^{-\frac{1}{4}x}}_{> 0}\]

\(\Longrightarrow \quad p'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb R\)

\(\Longrightarrow \quad\) Der Graph von \(p\) ist für alle \(x \in \mathbb R\) streng monoton fallend.

 

Verhalten von \(p\) für \(x \to +\infty\) und \(x \to -\infty\)

 

\[\lim \limits_{x \to +\infty} p(x) = \lim \limits_{x \to +\infty} e^{-\frac{1}{4}x} = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\; \frac{1}{e^{\frac{1}{4}x}} = 0\]

 

\[\lim \limits_{x \to -\infty} p(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} e^{-\frac{1}{4}x} = +\infty\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 2b »