Teilaufgabe 2d

Berechnen Sie den Term \(q'(x)\) der ersten Ableitung von \(q\) und weisen Sie für die Funktion \(q\) nach, dass für die Extremstellen \(\tan x = -0{,}25\) gilt. Zeigen Sie damit, dass die Extremstellen von \(q\) nicht mit den Extremstellen der Kosinusfunktion übereinstimmen.

(6 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

\[q(x) = e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \cos x\,\; \quad D = \mathbb R\]

 

Erste Ableitung \(q'\)

\[\begin{align*}q'(x) &= -\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \cos x + e^{-\frac{1}{4}x} \cdot (-\sin x) \\[0.8em] &= -e^{-\frac{1}{4}x} \left ( \frac{1}{4} \cos x + \sin x \right ) \end{align*}\]

 

Nachweis, dass für die Extremstellen von \(q\) gilt: \(\tan x = -0{,}25\)

 

Notwendige Bedingung für Extremstellen von \(q\):

 

\[q'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

\[\underbrace{-e^{-\frac{1}{4}x}}_{<\,0} \left ( \frac{1}{4} \cos x + \sin x \right ) = 0\]

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad \frac{1}{4} \cos x + \sin x &= 0 & &| : \cos x \enspace (x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \enspace k \in \mathbb Z) \\[0.8em] \frac{1}{4} + \frac{\sin{x}}{\cos{x}} &= 0 & &| \; \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \\[0.8em] \frac{1}{4} + \tan x &= 0 & &| -\frac{1}{4} \\[0.8em] \tan x &= -\frac{1}{4} \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Für die Extremstellen von \(q\) gilt: \(\tan x = -0{,}25\).

 

Nachweis, dass die Extremstellen von \(q\) nicht mit den Extremstellen der Kosinusfunktion übereinstimmen

 

Für die Extremstellen der Kosinusfunktion gilt:

 

\[x = k\pi, \enspace k \in \mathbb Z\]

\[\tan(k\pi) = 0\]

 

Für die Extremstellen der Funktion \(q\) gilt:

 

\[\begin{align*} \tan x &= -0{,}25 & &| \;\tan^{-1}(\dots) \\[0.8em] x &\approx -0{,}245  \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Extremstellen der Funktion \(q\): \(x = -0{,}245 + k\pi\,; \enspace k \in \mathbb Z\)

 

Folglich sind die Extremstellen der Funktion \(q\) gegenüber den Extremstellen der Kosinusfunktion um ca. -0,245 verschoben.

 

Anmerkung: Es ist ausreichend, zu zeigen, dass für die Extremstellen der Kosinusfunktion \(\tan(k\pi)\) = 0 gilt und daraus zu schließen, dass die Extremstellen von \(q\), für welche die Bedingung \(\tan{x} = -0{,}25\) gilt, nicht mit den Extremstellen der Kosinusfunktion übereinstimmen.

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