Teilaufgabe 2f

Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(Q\,\colon x \mapsto \frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \left( \sin x - \frac{1}{4}\cos x \right)\) ist eine Stammfunktion von \(q\).

Zeigen Sie rechnerisch, dass \(\displaystyle \int_0^{2\pi} q(x)\,dx > 0\) gilt, und deuten Sie die Aussage dieser Ungleichung am Graphen von \(q\).

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2f

 

\[Q(x) = \frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \left( \sin{x} - \frac{1}{4}\cos{x}\right)\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Nachweis, dass \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} q(x)\,dx > 0\) gilt

\[ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} q(x)\;dx \quad = \quad &[Q(x)]^{2\pi}_{0} \\[0.8em] \quad = \quad &\left[\frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4}x} \left(\sin x - \frac{1}{4} \cos x \right)\right]_{0}^{2\pi} \\[0.8em] \quad = \quad &\frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4} \cdot 2\pi} \Bigg ( \underbrace{\sin(2\pi)}_{0} - \frac{1}{4} \underbrace{\cos(2\pi)}_{1} \Bigg ) \\ - &\left [ \frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4} \cdot 0} \Bigg ( \underbrace{\sin(0)}_{0} - \frac{1}{4} \underbrace{\cos(0)}_{1} \Bigg ) \right] \\[0.8em] \quad = \quad &-\frac{4}{17}e^{-\frac{\pi}{2}} + \frac{4}{17} \\[0.8em] \quad = \quad &\frac{4}{17} \left ( 1 - e^{-\frac{\pi}{2}} \right ) \\[0.8em] \quad \approx \quad &0{,}19 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \int_{0}^{2\pi} q(x)\;dx > 0\]

 

Deutung des Zusammenhangs am Graphen von \(q\)

 

Im Intervall [0;2π] schließt der Graf von q mit den Koordinatenachsen und der Geraden x = 2π drei Flächenstücke ein.

Im Intervall \([0;2\pi]\) schließt der Graph von \(q\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = 2\pi\) drei Flächenstücke ein.

Die Aussage \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} q(x)\,dx > 0\) beschreibt eine positive Flächenbilanz. Der Flächeninhalt der beiden oberhalb der \(x\)-Achse liegenden Flächenstücke ist größer als der Flächeninhalt des unterhalb der \(x\)-Achse liegenden Flächenstücks.

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