Teilaufgabe 2g

Es gibt Werte \(a \in \mathbb R^+\), für die \(\displaystyle \int_0^{a} q(x)\,dx < 0\) gilt. Geben Sie einen solchen Wert an und begründen Sie Ihre Antwort ohne zu rechnen.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2g

 

Im Intervall [0;3π/2] schließt der Graph von q mit den Koordinatenachsen und der Geraden x = 3π/2 zwei Flächenstücke ein.

Im Intervall \([0; \frac{3}{2}\pi]\) schließt der Graph der Funktion \(q\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = \frac{3}{2}\pi\) zwei Flächenstücke ein.

 

\(\displaystyle\int_{0}^{a} q(x)\,dx < 0\) für \(\displaystyle a = \frac{3}{2}\pi\)

 

Für \(\displaystyle a = \frac{3}{2}\pi\) errechnet das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{a} q(x)\,dx\) die Flächenbilanz aus einem Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse und einem Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse.

Ab \(\displaystyle a = \frac{3}{2}\pi\) ist jedes Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse stets größer als das darauf folgende Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse.

Eine negative Flächenbilanz \(\displaystyle \int_{0}^{a} q(x)\,dx < 0\) wird man somit für die Summe der beiden Flächenstücke erwarten, die der Graph von \(q\) zwischen \(x = 0\) und \(\displaystyle a \leq \frac{3}{2}\pi\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = a\) einschließt.

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