Teilaufgabe 1b

Zeigen Sie, dass \(G_f\) genau einen Hochpunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an.

(zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate des Hochpunkts: \(\ln 3\))

(5 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[f(x) = 3 \cdot \left( 1 - e^{-x} \right) - x\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(f\):

 

\[f'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

 

\[f(x) = 3 \cdot \left( 1 - e^{-x} \right) - x\]

\[\begin{align*} f'(x) &= 3 \cdot \left( 0 - e^{-x} \cdot (-1) \right) - 1 \\[0.8em] &= 3e^{-x} - 1 \end{align*}\]

 

Extremstelle berechnen:

 

\[\begin{align*} 3e^{-x} - 1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] 3e^{-x} &= 1 & &| \cdot e^{x} \\[0.8em] 3 &= e^{x} & &| \; a^{x} = b \enspace \Leftrightarrow \enspace x = \log_{a}{b} \\[0.8em] \ln{3} &= x \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad x = \ln{3}\) ist einzige Extremstelle von \(G_{f}\).

 

\[\begin{align*}f(\ln{3}) &= 3 \cdot \left( 1 - e^{-\ln{3}} \right) - \ln{3} & &| \; n \cdot \log_{a}{b} = \log_{a}{b^{n}} \\[0.8em] &= 3 \cdot \left( 1 - e^{\ln{(3^{-1})}} \right) - \ln{3} & &| \; a^{\log_{a}{b}} = b \\[0.8em] &= 3 \cdot \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \ln{3} \\[0.8em] &= 2 - \ln{3}\end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Der Punkt \((\ln{3}| 2 - \ln{3})\) ist einziger Extrempunkt von \(G_{f}\).

 

Art des Extrempunkts:

Der Nachweis der Art des Extrempunkts kann mithilfe des Monotoniekriteriums oder mithilfe der zweiten Ableitung \(f''\) erfolgen.

 

\[f'(x) = 3e^{-x} - 1 = \frac{3}{e^{x}} - 1\]

\[\left. \begin{align*} &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < \ln{3} \\[0.8em] &f'(\ln{3}) = 0 \\[0.8em] &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > \ln{3} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}\;HoP\,(\ln{3}|2 - \ln{3})\]

Zweite Ableitung \(f''\) bilden:

 

\[f'(x) = 3e^{-x} - 1\]

\[f''(x) = 3e^{-x} \cdot (-1) = -3 \underbrace{e^{-x}}_{>\,0}\]

 

\(\Longrightarrow \quad f''(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb R\)

 

\[\left. \begin{align*} &f'(\ln{3}) = 0 \\[0.8em] &f''(\ln{3}) < 0 \end{align*}  \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}\;HoP\,(\ln{3}|2 - \ln{3})\]

 

oder:

Da für alle \(x \in \mathbb R\) gilt: \(f''(x) < 0\), ist \(G_{f}\) in \(\mathbb R\) rechtsgekrümmt. Somit muss der einzige Extrempunkt von \(G_{f}\) ein Hochpunkt sein.

\[\Longrightarrow \quad \text{Hochpunkt}\;HoP\,(\ln{3}|2 - \ln{3})\]

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