Teilaufgabe 1d

Im Intervall \([2;3]\) besitzt \(f\) genau eine Nullstelle \(a\). Bestimmen Sie einen Näherungswert von \(a\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert 3 durchführen. Man erhält dadurch \(a\) auf zwei Dezimalen genau.

(Ergebnis: \(a \approx 2{,}82\))

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

\[f(x) = 3 \cdot \left( 1 - e^{-x} \right) - x\,; \quad D = \mathbb R\]

Startwert: \(x_{0} = 3\)

\(f'(x) = 3e^{-x} - 1\) (siehe Teilaufgabe 1b)

 

\[ \begin{align*} a &= x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} \\[0.8em] &= 3 - \frac{3 \left (1 - e^{-3} \right ) - 3}{3e^{-3} - 1} \\[0.8em] &= 3 + \frac{3e^{-3}}{3e^{-3} - 1} \\[0.8em] &\approx 2{,}82 \end{align*} \]

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