Teilaufgabe 1e

Berechnen Sie durch Integration mithilfe des Näherungswerts von \(a\) einen Näherungswert für den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

(5 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Flächeninhalt A des Flächenstücks, das der Graph von f im I. Quadranten mit der x-Achse einschließt

Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) im I. Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

 

Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{0}^{a} f(x)\,dx\) mit \(a = 2{,}82\) (siehe Teilaufgabe 1d) errechnet näherungsweise den Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) im I. Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

 

\[A = \int_{0}^{a}f(x)\,dx\]

\[f(x) = 3 \left (1 - e^{-x} \right ) - x = 3 - 3e^{-x} - x\]

\[ \begin{align*} A &= \int_{0}^{a} f(x)\,dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{a} \left [ 3 \left (1 - e^{-x} \right ) - x \right ] dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{a} \left( 3 - 3e^{-x} - x \right)\,dx \\[0.8em] &= \left [3x + 3e^{-x} -\frac{1}{2}x^2 \right ]_{0}^{a} \\[0.8em] &= 3a + 3e^{-a} -\frac{1}{2}a^2 - \left (3 \cdot 0 + 3e^{-0} - \frac{1}{2} \cdot 0^2 \right ) \\[0.8em] &= 3a + 3e^{-a} -\frac{1}{2}a^2 - 3 \\[0.8em] &= 3 \cdot 2{,}82 + 3e^{-2{,}82} -\frac{1}{2} \cdot 2{,}82^2 - 3 \\[0.8em] &\approx 1{,}66 \end{align*} \]

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