Teilaufgabe 2a

Analysis 2

Jeder Körper sendet elektromagnetische Strahlung unterschiedlicher Frequenzen aus; die Intensität der Strahlung hängt von der Frequenz der Strahlung ab. Im Idealfall lässt sich diese Intensität nach Max Planck durch die Schar der in \(\mathbb R^+\) definierten Funktionen

\[I_T\,\colon x \mapsto \frac{x^3}{e^{\frac{x}{T}} - 1}\]

mit \(T \in \mathbb R^+\) beschreiben. Dabei ist \(x\) - bis auf eine Konstante - die Frequenz der Strahlung und \(T\) die Temperatur des Körpers in Kelvin.

Die Abbildung zeigt die zu drei Werten des Parameters \(T\) gehörenden Graphen von \(I_T\).

Abbildung zu Teilaufgabe 2a

Bei der Bearbeitung der folgenden Aufgaben soll auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

Weisen Sie anhand des Funktionsterms von \(I_T\) nach, dass der Wert der Intensität der Strahlung stets positiv ist.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[I_{T}(x) = \frac{x^3}{e^{\frac{x}{T}} - 1}\,; \quad D = \mathbb R^{+}, \, T \in \mathbb R^{+}\]

 

Betrachtung des Zählerterms:

\(x^3 > 0\) für \(x \in \mathbb R^+\)

 

Betrachtung des Nennerterms:

\(\frac{x}{T} > 0\) für \(x \in \mathbb R^{+},\, T \in \mathbb R^{+}\)

\(\Longrightarrow \quad e^{\frac{x}{T}} > 1\) für \(\frac{x}{T} > 0\)

\(\Longrightarrow \quad e^{\frac{x}{T}} - 1 > 0\) für \(e^{\frac{x}{T}} > 1\)

 

\(\Longrightarrow \quad I_{T}(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R^{+}, \, T \in \mathbb R^{+}\)

Der Wert der Intensität der Strahlung ist stets positiv.

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