Teilaufgabe 2b

Zeigen Sie, dass für die erste Ableitung der Funktion \(I_T\) gilt:

\[I'_T(x) = \frac{x^2 \cdot e^{\frac{x}{T}} \cdot \left [ 3 \cdot \left (1 - e^{-\frac{x}{T}} \right ) - \frac{x}{T} \right ]}{\left ( e^{\frac{x}{T}} - 1 \right )^2}\]

Vergleichen Sie diesen Term mit dem der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 und begründen Sie, dass die Funktion \(I_T\) bei \(x = a \cdot T\) ihr einziges Maximum besitzt, wenn \(a\) die positive Nullstelle von \(f\) ist.

(6 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[I_T(x) = \frac{x^3}{e^{\frac{x}{T}} - 1}\,; \quad D = \mathbb R^{+}, \, T \in \mathbb R^{+}\]

 

Nachweis des Funktionsterms \(I'_{T}(x)\)

\[ \begin{align*} I'_T(x) &= \frac{3x^2 \cdot \left (e^{\frac{x}{T}} - 1 \right ) - x^3 \cdot \left (e^{\frac{x}{T}} \cdot \frac{1}{T} - 0 \right )}{\left ( e^{\frac{x}{t}} - 1 \right )^2} & &| \; \text{Klammern auflösen}\\[0.8em] &= \frac{3x^2 \cdot e^{\frac{x}{T}} - 3x^2 -\frac{x^3}{T} \cdot e^{\frac{x}{T}}}{\left ( e^{\frac{x}{t}} - 1 \right )^2} & &| \; \text{Term}\; 3x^{2} \; \text{mit} \; \frac{e^{\frac{x}{T}}}{e^{\frac{x}{T}}} \;\text{erweitern} \\[0.8em] &= \frac{3x^2 \cdot e^{\frac{x}{T}} - 3x^2 \cdot \frac{e^{\frac{x}{T}}}{e^{\frac{x}{T}}} -\frac{x^3}{T} \cdot e^{\frac{x}{T}}}{\left ( e^{\frac{x}{t}} - 1 \right )^2} & &| \; \text{Faktor}\; x^2e^{\frac{x}{T}} \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= \frac{x^2e^{\frac{x}{T}} \cdot \left ( 3 - \frac{3}{e^{\frac{x}{T}}} - \frac{x}{T} \right )}{\left ( e^{\frac{x}{t}} - 1 \right )^2} & &| \;\text{umschreiben:}\; \frac{3}{e^{\frac{x}{T}}} = 3e^{-\frac{x}{T}} \\[0.8em] &= \frac{x^2e^{\frac{x}{T}} \cdot \left ( 3 - 3e^{-\frac{x}{T}} - \frac{x}{T} \right )}{\left ( e^{\frac{x}{t}} - 1 \right )^2} & &| \; \text{Faktor} \; 3 \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= \frac{x^2e^{\frac{x}{T}} \left [ 3 \left (1 - e^{-\frac{x}{T}} \right ) - \frac{x}{T} \right ]}{\left ( e^{\frac{x}{t}} - 1 \right )^2} \end{align*} \]

 

Begründung, dass die Funktion \(I_{T}\) bei \(x = a \cdot T\) ihr einziges Maximum besitzt 

 

\(f(x) = 3 \left (1 - e^{-x} \right ) - x\) (siehe Aufgabe 1)

 

\[I'_{T}(x) = \frac{x^2e^{\frac{x}{T}}\bigg [ \overbrace{ 3 \left (1 - e^{-\frac{x}{T}} \right ) - \frac{x}{T}}^{{\textstyle f(\frac{x}{T})}}\bigg ]}{\left ( e^{\frac{x}{T}} - 1 \right )^2}\]

 

\[\Longrightarrow \quad I'_{T}(x) = \frac{x^2e^{\frac{x}{T}}}{\left ( e^{\frac{x}{T}} - 1 \right )^2} \cdot {\textstyle f(\frac{x}{T})}\]

 

Notwendige Bedingung für ein Maximum der Funktion \(I_{T}\):

\[I'_{T}(x) \overset{!}{=} 0\]

 

\[\frac{\overbrace{x^2e^{\frac{x}{T}}}^{>\;0}}{\underbrace{\left ( e^{\frac{x}{T}} - 1 \right )^2}_{>\;0}} \cdot {\textstyle f(\frac{x}{T})} = 0\]

 

\[\Longrightarrow \quad {\textstyle f(\frac{x}{T})} = 0\]

 

Aus Teilaufgabe 1d ist bekannt:

\(f(a) = 0\)

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad \frac{x}{T} &= a & &| \cdot T \\[0.8em] x &= a \cdot T \end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die Funktion \(I_{T}\) besitzt an der Stelle \(x = a \cdot T\) ihr einziges Extremum.

 

Art des Extremums:

\[I'_{T}(x) = \frac{\overbrace{x^2e^{\frac{x}{T}}}^{>\, 0} \bigg [ \overbrace{ 3 \left (1 - e^{-\frac{x}{T}} \right ) - \frac{x}{T}}^{{\textstyle f(\frac{x}{T})}}\bigg ]}{\underbrace{\left ( e^{\frac{x}{T}} - 1 \right )^2}_{> \, 0}}\]

Der Funktionsterm \(f(\frac{x}{T})\) bestimmt den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung \(I'_{T}\).

Um eine Aussage über das Monotonierverhalten des Graphen der Funktion \(I_{T}\) (Vorzeichenwechsel von \(I'_{T}\)) treffen zu können, vergleicht man den Funktionsterme \(f(x)\) aus Teilaufgabe 1d mit dem Funktionsterm \(f(\frac{x}{T})\).

Die Funktion \(f\) aus Teilaufgabe 1d wechselt das Vorzeichen an der Nullstelle \(x = a\) von plus nach minus.

 

Für die Extremstelle von \(I_{T}\) gilt:

\[\frac{x}{T} = a\]

 

\(f(x) > 0\) für \(x < a \quad\)\(\Longrightarrow \quad f(\frac{x}{T}) > 0\) für \(\frac{x}{T} < a \Longleftrightarrow x < a \cdot T\)

\(f(x) < 0\) für \(x > a \quad\)\(\Longrightarrow \quad f(\frac{x}{T}) < 0\) für \(\frac{x}{T} > a \Longleftrightarrow x > a \cdot T\)

 

\[\Longrightarrow \quad \left. \begin{align*} &I'_{T}(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < a \cdot T \\[0.8em] &I'_{T}(a \cdot T) = 0 \\[0.8em] &I'_{T}(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > a \cdot T \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{lokales Maximum}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Funktion \(I_{T}\) besitzt bei \(x = a \cdot T\) ihr einziges Maximum.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a Teilaufgabe 2c »