Teilaufgabe 2e

Wird die Temperatur \(T\) eines Körpers verdoppelt, so nimmt das Maximum der Intensität seiner Strahlung den achtfachen Wert an. Begründen Sie diese Tatsache.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2e

 

\[I_{T}(x) = \frac{x^3}{e^{\frac{x}{T}} - 1}\,; \quad D = \mathbb R^{+}\,, \enspace T \in \mathbb R^{+}\]

 

Für das Maximum der Intensität der Strahlung eines Körpers mit der Frequenz \(x_{max}\) und der Temperatur \(T\) gilt (siehe Teilaufgaben 2b,c und 1d):

 

\(\displaystyle \frac{x_{max}}{T} = a \enspace \Longleftrightarrow \enspace x_{max} = a \cdot T\enspace\) mit \(a \approx 2{,}82\)

 

\[\Longrightarrow \quad I_{T}(x_{max}) = I_{T}(a \cdot T) = \frac{(a \cdot T)^3}{e^{\frac{a \cdot T}{T}} - 1} = \frac{a^{3} T^{3}}{e^{a} - 1} \]

 

\[\Longrightarrow \quad I_{T}(x_{max}) \sim T^{3}\]

 

Die maximale Intensität \(I_{T}(x_{max})\) ist direkt proportional zu \(T^3\). Folglich verachtfacht sich \(I_T(x_{max})\) bei Verdopplung der Temperatur \(T\).

 

Maximale Intensität \(I_{2T}(x_{max})\) der Strahlung eines Körpers mit doppelt so hoher Temperatur \(2T\):

 

\[I_{2T}(x_{max}) = \frac{a^3 (2T)^3}{e^a - 1} = \frac{8 \cdot a^3 T^3}{e^a - 1} = 8 \cdot I_{T}(x_{max})\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2d