Teilaufgabe a

Eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet, lässt sich modellhaft durch die \(x_1x_2\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems beschreiben. Die \(x_1\)-Achse zeigt in Richtung Osten, die \(x_2\)-Achse in Richtung Norden; eine Längeneinheit im Modell entspricht 1 km in der Landschaft.

Ein Flugzeug \(F_1\) steigt unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn geradlinig auf - im Modell vom Punkt \(P\,(-10|0|0)\) aus entlang der Geraden

\(\displaystyle g_1\,\colon\, \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\,\).

Die Flugbahn eines Flugzeugs \(F_2\) verläuft im Modell entlang der Geraden

\(g_2\,\colon\, \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}, \enspace \mu \in \mathbb R\,\).

Geben Sie die Himmelsrichtung an, in der \(F_1\) fliegt, und begründen Sie, dass \(F_2\) eine konstante Flughöhe hält.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Himmelsrichtung, in der \(F_1\) fliegt

 

Projektion in die x₁x₂-Ebene: Richtungsvektor der Geraden g₁

 

\[g_1\,\colon \, \overrightarrow X = \overrightarrow P + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix}\,,\enspace \lambda \in \mathbb R\]

Die \(x_1\)- und die \(x_2\)-Koordinate des Richtungsvektors \(\left(\begin{smallmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)\) der Geraden \(g_1\) beschreiben die Himmelsrichtung, in die das Flugzeug \(F_1\) fliegt. Der Richtungsvektor zeigt in der \(x_1x_2\)-Ebene in die positive Richtung der Winkelhalbierenden des I. Quadranten. Folglich fliegt das Flugzeug \(F_1\) in Richtung Nord-Osten.

 

Begründung, dass \(F_2\) eine konstante Flughöhe hält

 

\[g_2\,\colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} \;,\enspace \mu \in \mathbb R\]

 

Die \(x_3\)-Koordinate des Richtungsvektors \(\left(\begin{smallmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end{smallmatrix}\right)\) der Geraden \(g_2\) ist gleich Null. Damit besitzt die \(x_{3}\)-Koordinate der Geraden \(g_{2}\) den konstanten Wert 10. Folglich hält \(F_2\) die konstante Flughöhe von 10 km.

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