Teilaufgabe b

Berechnen Sie die Größe des Steigungswinkels der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale.

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Der Steigungswinkel der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden \(g_1\) und der \(x_1x_2\)-Ebene.

\[g_{1}\,\colon\, \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\,, \enspace \lambda \in \mathbb R\]

Richtungsvektor der Geraden \(g_1\): \(\overrightarrow u_{g_1} = \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} \)

\[x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\,\colon\,x_{3} = 0\]

Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\overrightarrow n_{x_1x_2} = \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \)

 

Schnittwinkel \(\alpha\) berechnen:

\[\begin{align*}\sin \alpha &= \frac{\vert \overrightarrow u_{g_1} \circ \overrightarrow n_{x_1x_2} \vert}{\vert \overrightarrow u_{g_1} \vert \cdot \vert \overrightarrow n_{x_1x_2} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left|\begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|}{\left| \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} \right| \cdot \left| \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 5 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \vert}{\sqrt{5^2 + 5^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{51}}\end{align*}\]

 

\[\alpha = \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{51}} \right) \approx 8{,}0^{\circ}\]

 

Der Steigungswinkel der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale beträgt ca. 8,0°.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe a Teilaufgabe c »