Teilaufgabe c

Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge senkrecht schneiden. Begründen Sie, dass die Flugzeuge dennoch - auch bei unveränderten Flugbahnen - nicht zwingend kollidieren.

(5 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Flugbahn von Flugzeug \(F_1\):

\[g_1\, \colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix}\,, \enspace \lambda \in \mathbb R\]

 

Flugbahn von Flugzeug \(F_2\):

\[g_2\,\colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix}\,,\enspace \mu \in \mathbb R\]

 

Nachweis, dass sich die Flugbahnen senkrecht schneiden

 

Schnittpunkt der Geraden \(g_1\) und \(g_2\) nachweisen:

\[g_1 \cap g_2 \colon \enspace \begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} \]

 

Lineares Gleichungssystem formulieren:

 

\[\begin {align*} \text{I}& & & &-10 + 5 \lambda &= 40 + 10 \mu \\[0.8em] \text{II}& & & \wedge & 5 \lambda &= 50 - 10 \mu \\[0.8em] \text{III}& & & \wedge & \lambda &= 10 \end {align*}\]

 

\(\lambda = 10\) in I und II:

\[\begin {align*} \text{I}& & & & -10 + 5 \cdot 10 &= 40 + 10 \mu \quad \Longrightarrow \quad \mu = 0 \\[0.8em] \text{II}& & & \wedge & 5 \cdot 10 &= 50 - 10 \mu \quad \Longrightarrow \quad \mu = 0 \end {align*}\]

 

Das Gleichungssystem besitzt mit \(\lambda = 10\) und \(\mu = 0\) eine eindeutige Lösung. Folglich schneiden sich die Geraden \(g_{1}\) und \(g_{2}\).

 

Schnittpunkt \(S\) berechnen:

 

\[S \in g_{1}\, \colon \, \overrightarrow S = \begin {pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + 10 \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S\,(40|50|10)\]

oder

\[S \in g_{2}\, \colon \, \overrightarrow S = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + 0 \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S\,(40|50|10)\]

 

Orthogonalität der Geraden \(g_1\) und \(g_2\) nachweisen:

Richtungsvektor von \(g_1\): \(\;\overrightarrow u = \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix}\)

Richtungsvektor von \(g_2\): \(\;\overrightarrow v = \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix}\)

\[\overrightarrow u \circ \overrightarrow v = \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} = 5 \cdot 10 + 5 \cdot (-10) + 1 \cdot 0 = 0\]

 

\[\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow u \perp \overrightarrow v\]

\[\Longrightarrow \quad g_1 \perp g_2\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Flugbahnen der beiden Flugzeuge schneiden sich senkrecht im Schnittpunkt \(S\,(40|50|10)\).

 

Bewertung der Kollisionsgefahr

 

Obwohl sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge \(F_1\) und \(F_2\) kreuzen, folgt daraus nicht zwingend eine Kollision, da nicht feststeht, dass die Flugzeuge den Schnittpunkt gleichzeitig erreichen.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe b Teilaufgabe d »