Teilaufgabe e

Lösung zu Teilaufgabe e

1. Lösungsansatz: Betrag eines Vektors / Länge einer Strecke

2. Lösungsansatz: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel

3. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade, Satz des Pythagoras

3. a) Abstand \(d(R;g_2)\) - Ansatz mit Hilfsebene

3. b) Abstand \(d(R;g_2)\) - Anwenden des Skalarprodukts

Der Überwachungsbereich des Radars beschreibt auf der \(x_1x_2\)-Ebene eine Halbkugel mit dem Mittelpunkt \(R\) und dem Radius \(r = 50\). Die Flugbahn des Flugzeugs \(F_2\) entlang der Geraden \(g_2\) verläuft mit der konstanten Flughöhe 10 km (siehe Teilaufgabe 1a). Überfliegt \(F_2\) den Überwachungsbereich, gibt es einen Eintrittspunkt \(P_1\) und einen Austrittspunkt \(P_2\). Die Länge der Strecke \([P_1P_2]\) entspricht der Länge der Flugstrecke von \(F_2\) im Überwachungsbereich des Radars.

Flugbahn von \(F_2\):

\[g_2\colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix},\enspace \mu \in \mathbb R\]

\(R\,(20|30|0)\)

Überwachungsradius: \(\,r = 50\; \text{km}\)

1. Lösungsansatz: Betrag eines Vektors / Länge einer Strecke

Bedingung:

Die Länge der Strecke \([RP]\) zwischen dem Punkt \(R\) und einem Punkt \(P \in g_{2}\) ist gleich dem Radius \(r\) der Halbkugel (Überwachungsradius des Radars).

\[\begin{align*} \overline{RP} &= r \\[0.8em] \vert \overrightarrow{RP} \vert &= 50 \\[0.8em] \vert \overrightarrow{P} - \overrightarrow{R} \vert &= 50 & &| P \in g_{2} \\[0.8em] \left| \begin {pmatrix} 40 + 10 \mu \\ 50 - 10 \mu \\ 10 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 20 \\ 30 \\ 0 \end {pmatrix} \right| &= 50 \\[0.8em] \left| \begin {pmatrix} 20 + 10 \mu \\ 20 - 10 \mu \\ 10 \end {pmatrix} \right| &= 50 \\[0.8em] \sqrt{(20 + 10 \mu)^2 + (20 - 10 \mu)^2 + 10^2} &= 50 \\[0.8em] \sqrt{400 + 400 \mu + 100 \mu^2 + 400 - 400 \mu + 100 \mu^2 + 100} &= 50 \\[0.8em] \sqrt{900 + 200 \mu^2} &= 50 & &| (\dots)^{2} \\[0.8em] 900 + 200\mu^2 &= 2500 & &| - 900 \\[0.8em] 200\mu^{2} &= 1600 & &| : 200 \\[0.8em] \mu^{2} &= 8 & & | \;\sqrt{\quad} \\[0.8em] \mu_{1,2} &= \pm 2\sqrt{2} \end{align*}\]

Koordinaten der Punkte \(P_1\) und \(P_2\) berechnen:

\[P_1 \in g_2\, \colon \, \overrightarrow {P_{1}} = \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix} + 2\sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 10\\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 + 20 \sqrt 2 \\ 50 - 20 \sqrt 2 \\ 10 \end{pmatrix}\]

\[P_2 \in g_2\, \colon \, \overrightarrow {P_{2}} = \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix} - 2\sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 10\\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 - 20 \sqrt 2 \\ 50 + 20 \sqrt 2 \\ 10 \end {pmatrix}\]

Länge der Strecke \([P_1P_2]\) berechnen:

\[ \begin {align*} \overline{P_1P_2} &= \vert \overrightarrow{P_1P_2} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow {P_{2}} - \overrightarrow {P_{1}} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 40 - 20 \sqrt 2 \\ 50 + 20 \sqrt 2 \\ 10 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 40 + 20 \sqrt 2 \\ 50 - 20 \sqrt 2 \\ 10 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} -40 \sqrt 2 \\ 40 \sqrt 2 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-40 \sqrt 2)^2 + (40 \sqrt 2)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{6400} \\[0.8em] &= 80 \end {align*} \]

Die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) im Überwachungsbereich des Radars beträgt 80 km.

2. Lösungsansatz: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel

Es sei \(K\) die Kugel mit dem Mittelpunkt \(R\,(20|30|0)\) und dem Radius \(r = 50\), deren Halbkugel über der \(x_1x_2\)-Ebene den Überwachungsbereich des Radars beschreibt.

\[\begin{align*} K\, \colon \, (x_1 - 20)^2 + (x_2 - 30)^2 + (x_3 - 0)^2 &= 50^2 \\[0.8em] (x_1 - 20)^2 + (x_2 - 30)^2 + {x_3}^2 &= 2500 \end{align*}\]

\[g_2\,\colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix}\]

\[\begin{align*} g_2 \cap K\, \colon \, (40 + 10\mu - 20)^2 + (50 - 10\mu - 30)^2 + {10}^2 &= 2500 \\[0.8em] (20 + 10\mu)^2 + (20 - 10\mu)^2 + {10}^2 &= 2500 \\[0.8em] 400 + 400 \mu + 100 \mu^2 + 400 - 400 \mu + 100 \mu^2 + 100 &= 2500 \\[0.8em] 900 + 200{\mu}^2 &= 2500 & &| - 900 \\[0.8em] 200\mu^{2} &= 1600 & &| : 200 \\[0.8em] {\mu}^2 &= 8 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \mu_{1,2} &= \pm 2\sqrt{2} \end{align*}\]

Koordinaten der Punkte \(P_1\) und \(P_2\) berechnen:

\[P_1 \in g_2\, \colon \, \overrightarrow {P_{1}} = \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix} + 2\sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 10\\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 + 20 \sqrt 2 \\ 50 - 20 \sqrt 2 \\ 10 \end{pmatrix}\]

\[P_2 \in g_2\, \colon \, \overrightarrow {P_{2}} = \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix} - 2\sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 10\\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 - 20 \sqrt 2 \\ 50 + 20 \sqrt 2 \\ 10 \end {pmatrix}\]

Länge der Strecke \([P_1P_2]\) berechnen:

\[ \begin {align*} \overline{P_1P_2} &= \vert \overrightarrow{P_1P_2} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow {P_{2}} - \overrightarrow {P_{1}} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 40 - 20 \sqrt 2 \\ 50 + 20 \sqrt 2 \\ 10 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 40 + 20 \sqrt 2 \\ 50 - 20 \sqrt 2 \\ 10 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} -40 \sqrt 2 \\ 40 \sqrt 2 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-40 \sqrt 2)^2 + (40 \sqrt 2)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{6400} \\[0.8em] &= 80 \end {align*} \]

Die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) im Überwachungsbereich des Radars beträgt 80 km.

3. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade, Satz des Pythagoras

Man bestimmt zunächst den Abstand \(d(R;g_2)\) zwischen dem Punkt \(R\) und der Geraden \(g_2\). Anschließend berechnet man mithilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Strecke \([P_1P_2]\).

a) Abstand \(d(R;g_2)\) - Ansatz mit Hilfsebene

Die Hilfsebene \(H\) enthält den Punkt \(R\) und ist senkrecht zur Geraden \(g_2\). Sie schneidet die Gerade \(g_2\) im Punkt \(S\). Der Abstand \(d(R;g_2)\) des Punktes \(R\) von der Geraden \(g_2\) ist gleich der Länge der Strecke \([RS]\).

Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschaften \(R \in H\) und \(H \perp g_2\) bestimmen:

\[g_2\, \colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix}\,,\enspace \mu \in \mathbb R\]

\[R\,(20|30|0)\]

\[\overrightarrow {u}_{g_2} = \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} = 10 \cdot \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {n}_H = \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end {pmatrix}\]

\[\begin{align*}H\,\colon & & \overrightarrow{n}_{H} \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{R} \right) &= 0 \\[0.8em] & & \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 20 \\ 30 \\ 0 \end {pmatrix} \right] &= 0 \end{align*}\]

Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(H\) mit der Geraden \(g_2\) ermitteln:

Zur Berechnung des Schnittpunktes \(S\) setzt man den Ortsvektor \(\overrightarrow X\) aus der Geradengleichung von \(g_2\) in die Normalengleichung der Hilfsebene \(H\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\mu\) auf.

\[g_2\,\colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix}\]

\[H\,\colon \, \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 20 \\ 30 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = 0\]

\[ \begin {align*} g_2 \cap H \, \colon \, \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 20 \\ 30 \\ 0 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin {pmatrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 1 \cdot (20 + 10 \mu) + (-1) \cdot (20 - 10 \mu) &= 0 \\[0.8em] 20\mu &= 0 \\[0.8em] \mu &= 0 \end{align*}\]

Parameterwert \(\mu = 0\) in die Geradengleichung von \(g_2\) einsetzen:

\[S \in g_2\, \colon \, \overrightarrow S = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + 0 \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} \]

Länge der Strecke \([RS]\) berechnen:

\[R\,(20|30|0)\,,\enspace S\,(40|50|10)\]

\[ \begin {align*} \overline{RS} &= \vert \overrightarrow{RS} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow S - \overrightarrow R \vert \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 20 \\ 30 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{20^2 + 20^2 + 10^2} \\[0.8em] &= \sqrt{900} \\[0.8em] &= 30 \end {align*} \]

\[\Longrightarrow \quad d(R;g_2) = 30\]

Länge der Strecke \([P_1P_2]\) berechnen:

Die Länge der Strecke \([P_1P_2]\) lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

\[\begin{align*} \left( \frac{\overline{P_1P_2}}{2} \right)^2 + \overline{RS}^2 &= r^2 & &| -\overline{RS}^2 \\[0.8em] \frac{\overline{P_1P_2}^2}{4} &= r^2 - \overline{RS}^2 & &| \cdot 4 \\[0.8em] \overline{P_1P_2}^2 &= 4 \left( r^2 - \overline{RS}^2 \right) & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \overline{P_1P_2} &= 2 \sqrt{r^2 - \overline{RS}^2} \\[0.8em] &= 2 \sqrt{50^2 - 30^2} \\[0.8em] &= 80 \end{align*}\]

Die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) im Überwachungsbereich des Radars beträgt 80 km.

b) Abstand \(d(R;g_2)\) - Anwenden des Skalarprodukts

\[g_2\, \colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix}\,,\enspace \mu \in \mathbb R\]

\[R\,(20|30|0)\]

Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(R\) auf die Gerade \(g_2\).

Somit gilt:

\[\overrightarrow{FR} \perp \overrightarrow{u_{g_2}} \enspace \Longleftrightarrow \enspace \overrightarrow{FR} \circ \overrightarrow{u_{g_2}} = 0\]

Vektor \(\overrightarrow{FR}\) allgemein beschreiben:

\[F \in g_2\, \colon \, \overrightarrow F = \begin{pmatrix} 40 + 10\mu \\ 50 - 10\mu \\ 10 \end{pmatrix}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{FR} &= \overrightarrow R - \overrightarrow F \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 20 \\ 30 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 40 + 10\mu \\ 50 - 10\mu \\ 10 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -20 - 10\mu \\ -20 + 10\mu \\ -10 \end{pmatrix} \end{align*}\]

Koordinaten des Lotfußpunktes \(F\) bestimmen:

\[\begin{align*} \overrightarrow{FR} \circ \overrightarrow{u_{g_2}} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} -20 - 10\mu \\ -20 + 10\mu \\ -10 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (-20 -10\mu) \cdot 10 + (-20 + 10\mu) \cdot (-10) + (-10) \cdot 0 &= 0 \\[0.8em] -200 -100\mu +200 -100\mu &= 0 \\[0.8em] -200\mu &= 0 \\[0.8em] \mu &= 0 \end{align*}\]

Parameterwert \(\mu = 0\) in die Geradengleichung von  \(g_2\) einsetzen:

\[F \in g_2 \colon \enspace \overrightarrow F = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + 0 \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} \]

Länge der Strecke \([RF]\) berechnen:

\[ \begin {align*} \overline{RF} &= \vert \overrightarrow F - \overrightarrow R \vert \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 20 \\ 30 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{20^2 + 20^2 + 10^2} \\[0.8em] &= \sqrt{900} \\[0.8em] &= 30 \end {align*} \]

\[\Longrightarrow \quad d(R;g_2) = 30\]

Länge der Strecke \([P_1P_2]\) berechnen:

Die Länge der Strecke \([P_1P_2]\) lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

\[\begin{align*} \left( \frac{\overline{P_1P_2}}{2} \right)^2 + \overline{RF}^2 &= r^2 & &| -\overline{RF}^2 \\[0.8em] \frac{\overline{P_1P_2}^2}{4} &= r^2 - \overline{RF}^2 & &| \cdot 4 \\[0.8em] \overline{P_1P_2}^2 &= 4 \left( r^2 - \overline{RF}^2 \right) & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \overline{P_1P_2} &= 2 \sqrt{r^2 - \overline{RF}^2} \\[0.8em] &= 2 \sqrt{50^2 - 30^2} \\[0.8em] &= 80 \end{align*}\]

Die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) im Überwachungsbereich des Radars beträgt 80 km.