Teilaufgabe a

Die Abbildung zeigt einen Würfel der Kantenlänge 6. Die Koordinaten der Eckpunkte \(A\,(0|0|0)\), \(D\,(0|6|0)\) und \(G\,(6|6|6)\) sind gegeben.

Abbildung zur Aufgabengruppe Geometrie 2, Würfel der Kantenlänge 6

Die Punkte \(B\), \(E\) und \(G\) liegen in einer Ebene \(L\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. Zeichnen Sie die Figur, in der die Ebene \(L\) den Würfel schneidet, in die Abbildung ein.

(mögliches Ergebnis: \(L\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 6\))

(5 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe a

 

\[A\,(0|0|0), \enspace D\,(0|6|0), \enspace G\,(6|6|6)\]

 

Gleichung der Ebene \(L\) in Koordinatenform

Richtungsvektoren der Ebene \(L\) bestimmen:

Der Abbildung können die Koordinaten der Punkte \(B\) und \(E\) entnommen werden.

\[B\,(6|0|0)\,\enspace E\,(0|0|6)\]

 

\[\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{G} = \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -6 \\ -6 \\ 0 \end {pmatrix}\]

\[\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{G} = \begin {pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 0 \\ -6 \\ -6 \end {pmatrix}\]

 

Normalenvektor der Ebene \(L\) bestimmen:

\[\begin{align*}\overrightarrow{GE} \times \overrightarrow{GB} &= \begin {pmatrix} -6 \\ -6 \\ 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 0 \\ -6 \\ -6 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} (-6) & \cdot & (-6) & - & 0 & \cdot & (-6) \\ 0 & \cdot & 0 & - & (-6) & \cdot & (-6) \\ (-6) & \cdot & (-6) & - & (-6) & \cdot & 0 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 36 \\ -36 \\ 36 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= 36 \cdot \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow {n}_{L} = \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

 

Es sei \(G\,(6|6|6)\) Aufpunkt der Ebene \(L\).

\[\begin {align*}L\, \colon & & \overrightarrow {n}_{L} \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow {G} \right) &= 0 \\[0.8em] & & \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end {pmatrix} \right] &= 0 \end {align*}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung (Koordinatenform) bestimmen:

\[ \begin {align*} \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 1 \cdot (x_1 - 6) + (-1) \cdot (x_2 - 6) + 1 \cdot (x_3 - 6) &= 0 \\[0.8em] x_1 - x_2 + x_3 - 6 &= 0 \end {align*} \]

 

\[L\, \colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 6 \]

 

Es ist ebenso möglich, direkt mit der Normalenform in Koordinatendarstellung anzusetzen.

\[{n}_{L} = \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix}\]

\(G\,(6|6|6) \in L\) (Aufpunkt)

 

\[\begin{align*}L\,\colon & & n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} &= 0 & & (\text{mit}\; n_{0} = -n_{1}g_{1} - n_{2}g_{2} - n_{3}g_{3}) \\[0.8em] & & 1 \cdot x_{1} + (-1) \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3} + n_{0} &= 0 \\[0.8em] & & x_{1} - x_{2} +x_{3} + n_{0} &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} G \in L\,\colon\, 6 - 6 + 6 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 6 + n_{0} &= 0 & &| - 6 \\[0.8em] n_{0} &= -6 \end{align*}\]

 

\[L\, \colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 6 \]

 

Zeichnung der Figur in der die Ebene \(L\) den Würfel schneidet

 

Figur (gleichseitiges Dreieck) in der die Ebene L den Würfel schneidet.

Figur (gleichseitiges Dreieck), in der die Ebne \(L\) den Würfel schneidet.

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