Teilaufgabe b

Der Würfel wird entlang der Ebene \(L\) geteilt. Berechnen Sie das Volumen der entstehenden Pyramide. Geben Sie an, wie viel Prozent des Würfelvolumens die Pyramide einnimmt. 

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Volumen der entstehenden Pyramide

 

1. Lösungsansatz: Elementargeometrischer Ansatz

 

Pyramide FGEB

 

\[V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\]

\[G = A_{FGE} = \frac{1}{2} \cdot \overline{FG} \cdot \overline{FE} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\]

\[h = \overline{FB} = 6\]

 

\[V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36\]

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Spatprodukts

 

Pyramide FGEB

\[V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \overrightarrow{FE} \times \overrightarrow{FG} \right) \circ \overrightarrow{FB}|\, \right|\]

 

\[B\,(6|0|0)\,\enspace E\,(0|0|6)\,\enspace F\,(6|0|6)\,\enspace G\,(6|6|6)\]

 

\[\overline{FE} = \overrightarrow {E} - \overrightarrow {F} = \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix}\]

\[\overline{FG} = \overrightarrow {G} - \overrightarrow {F} = \begin {pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end {pmatrix}\]

\[\overline{FB} = \overrightarrow {B} - \overrightarrow {F} = \begin {pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end {pmatrix}\]

 

\[ \begin {align*} V_{\text{Pyramide}} &= \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \overrightarrow{FE} \times \overrightarrow{FG} \right) \circ \overrightarrow{FB}\, \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| \; \left[ \begin {pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end {pmatrix} \right] \circ \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end {pmatrix} \; \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| \; \begin {pmatrix} 0 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & (-6) \\ 0 & \cdot & 0 & - & (-6) & \cdot & 0 \\ (-6) & \cdot & 6 & - & 0 & \cdot & 0 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end {pmatrix} \; \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| \; \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ -36 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end {pmatrix} \; \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \vert 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-36) \cdot (-6) \vert \\[0.8em] &= 36 \end {align*} \]

 

Anteil des Pyramidenvolumens am Würfelvolumen

 

Volumen des Würfels:

\[V_{Würfel} = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\]

 

\[\frac{V_{\text{Pyramide}}}{V_{Würfel}} = \frac{36}{216} = \frac{1}{6} \approx 17\%\]

 

Die Pyramide nimmt ca. 17 % des Würfelvolumens ein.

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