Teilaufgabe c

Die Ebene \(M\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 3\) schneidet den Würfel in einem regulären Sechseck.

Begründen Sie, dass \(M\) parallel zu \(L\) ist. Geben Sie die Schnittpunkte von \(M\) mit der \(x_1\)-Achse sowie mit der \(x_3\)-Achse an und weisen Sie nach, dass \(M\) den Mittelpunkt der Strecke \([BC]\) enthält.

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe c

 

\[L\,\colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 6\]

\[M\,\colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 3\]

 

Begründung, dass \(M\) parallel zu \(L\) ist

\[\overrightarrow{n}_L = \overrightarrow{n}_M = \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix}\]

 

Es gibt keinen Punkt \(P\,(p_1|p_2|p_3)\) mit der Eigenschaft \(\,P \in L\) und \(P \in M\).

 

\[\left. \begin{align*}p_1 - p_2 + p_3 &= 6 \\[0.8em] \wedge \quad p_1 - p_2 + p_3 &= 3 \end{align*} \right\rbrace \enspace \text{keine Lösung}\]

 

Es lässt sich leicht nachweisen, dass einer der Punkte \(B\), \(E\) und \(G\), die in der Ebene \(L\) liegen (siehe Teilaufgabe a), nicht in der Ebene \(M\) liegt. 

 

\[B\,(6|0|0)\,,E\,(0|0|6)\,, G\,(6|6|6) \in L\]

 

\[B \notin M\,\colon\, 6  - 0 + 0 \neq 3 \]

\[E \notin M\,\colon\, 0  - 0 + 6 \neq 3\]

\[G \notin M\,\colon\, 6  - 6 + 6 \neq 3\]

 

\[\Longrightarrow \quad M \parallel L\]

Die Ebene \(M\) ist echt parall zur Ebene \(L\).

 

Um zu zeigen, dass die beiden Ebenen \(L\) und \(M\) echt parallel zueinander sind, kann als Alternative auch der Abstand \(d\,(L;M)\) der beiden Ebenen nachgewiesen werden.

 

\(B\,(6|0|0)\,,E\,(0|0|6)\,, G\,(6|6|6) \in L\) (siehe Teilaufgabe a)

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(L;M) = d\,(B;M) = d\,(E;M) = d\,(G;M)\]

\[M\,\colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 3 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {n}_M = \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix}\]

 

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(M\) berechnen:

 

\[\vert \overrightarrow{n}_M \vert = \left| \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]

 

\[M^{HNF}\,\colon \, \frac{x_1 - x_2 + x_3 - 3}{\sqrt{3}} = 0\]

 

Abstand \(d(L;M)\) berechnen:

 

\[B\,(6|0|0)\,,E\,(0|0|6)\,,G\,(6|6|6) \in L\]

 

\[d\,(L;M) = d\,(B; M) = \left| \frac{6 - 0 + 0 - 3}{\sqrt{3}} \right| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

oder

\[d\,(L;M) = d\,(E;M) = \left| \frac{0 - 0 + 6 - 3}{\sqrt{3}} \right| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

oder

\[d\,(L;M) = d\,(G;M) = \left| \frac{6 - 6 + 6 - 3}{\sqrt{3}} \right| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

 

\(\Longrightarrow \quad M \parallel L\;\) mit \(\;d\,(L;M) = \sqrt{3}\)

Die Ebene \(M\) ist echt parall zur Ebene \(L\).

 

Schnittpunkte von \(M\) mit der \(x_{1}\)-Achse sowie mit der \(x_{3}\)-Achse

 

\[M\,\colon \, x_1 -x_2 + x_3 = 3\]

 

Schnittpunkt \(S_1\) der Ebene \(M\) mit der \(x_1\)-Achse:

 

\[x_1\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow X = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\begin{align*}M \cap x_1\text{-Achse}\, \colon \, \lambda - 0 + 0 &= 3 \\[0.8em] \lambda &= 3\end{align*}\]

 

\[S_1 \in x_1\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow S_1 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S_1(3|0|0)\]

 

Schnittpunkt \(S_3\) der Ebene \(M\) mit der \(x_3\)-Achse:

 

\[x_3\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow X = \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

\[\begin{align*}M \cap x_3\text{-Achse}\, \colon \, 0 - 0 + \mu &= 3 \quad \\[0.8em] \mu &= 3 \end{align*}\]

 

\[S_3 \in x_3\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow S_3 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S_3(0|0|3)\]

 

Nachweis, das \(M\) den Mittelpunkt der Strecke \([BC]\) enthält

\[B\,(6|0|0)\,, \enspace C\,(6|6|0)\]

 

\[\overrightarrow M_{[BC]} = \frac{1}{2} \left(\overrightarrow{B }+ \overrightarrow{C}\right) = \frac{1}{2} \left[ \begin {pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + \begin {pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad M_{[BC]}(6|3|0)\]

 

\[M\,\colon \, x_1 -x_2 + x_3 = 3\]

 

\[M_{[BC]} \in M\, \colon \, 6 - 3 + 0 = 3 \enspace (\text{w})\]

 

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