Teilaufgabe e

Jede Ebene, die parallel zu \(M\) verläuft, wird durch eine Gleichung der Form \(x_1 - x_2 + x_3 = p\) mit \(p \in \mathbb R\) beschrieben. Nennen Sie die Arten der Figuren, in denen eine solche Ebene den Würfel schneiden kann, und geben Sie die Menge aller Werte von \(p\) an, für die die Schnittfigur ein Sechseck ist.

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe e

 

Vorschau: Ebenenschar schneidet Würfel

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 1 (B2014BA)

    \(p = 12\, \colon \enspace\)Die Scharebene \(x_{1} - x_{2} + x_{3} = 12\) berührt den Eckpunkt \(F\) des Würfels.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 1 (B2014BA)

    \(p = 12\, \colon \enspace\)Die Scharebene \(x_{1} - x_{2} + x_{3} = 12\) berührt den Eckpunkt \(F\) des Würfels.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 2 (B2014BA)

    \(p \in \, [6;12[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein (gleichseitiges) Dreieck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 2 (B2014BA)

    \(p \in \, [6;12[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein (gleichseitiges) Dreieck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 3 (B2014BA)

    \(p = 6 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck (siehe Teilaufgabe a, Ebene \(L\)).

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 3 (B2014BA)

    \(p = 6 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck (siehe Teilaufgabe a, Ebene \(L\)).

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 4 (B2014BA)

    \(p \in \; ]0;6[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein Sechseck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 4 (B2014BA)

    \(p \in \; ]0;6[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein Sechseck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 5 (B2014BA)

    \(p = 3\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein reguläres Sechseck (siehe Teilaufgabe c und d, Ebene \(M\)).

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 5 (B2014BA)

    \(p = 3\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein reguläres Sechseck (siehe Teilaufgabe c und d, Ebene \(M\)).

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 6 (B2014BA)

    \(p \in \; ]0;6[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein Sechseck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 6 (B2014BA)

    \(p \in \; ]0;6[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein Sechseck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 7 (B2014BA)

    \(p = 0 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 7 (B2014BA)

    \(p = 0 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 8 (B2014BA)

    \(p \in \; ]-6;0]\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein (gleichseitiges) Dreieck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 8 (B2014BA)

    \(p \in \; ]-6;0]\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein (gleichseitiges) Dreieck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 9 (B2014BA)

    \(p = -6\, \colon \enspace\)Die Scharebene \(x_{1} - x_{2} + x_{3} = -6\) berührt den Eckpunkt \(D\) des Würfels.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 9 (B2014BA)

    \(p = -6\, \colon \enspace\)Die Scharebene \(x_{1} - x_{2} + x_{3} = -6\) berührt den Eckpunkt \(D\) des Würfels.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 1 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 2 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 3 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 4 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 5 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 6 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 7 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 8 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 9 (B2014BA)

 

Arten von Schnittfiguren

 

Es sei \(N_{p}\) die Ebenenschar mit der Gleichung \(N_{p}\, \colon \, x_1 - x_2 + x_3 = p\,, \enspace p \in \mathbb R\)

 

Bisherige Ergebnisse:

Für \(p = 6\) ist die Figur, in der die Scharebene \(N_{6} = L\) den Würfel schneidet, ein gleichseitiges Dreieck (siehe Teilaufgabe a).

Für \(p = 3\) ist die Figur, in der die Scharebene \(N_{3} = M\) den Würfel schneidet,  ein reguläres Sechseck (siehe Teilaufgabe c und d).

 

Wandert die Scharebene \(N_{6} = L\) in Richtung des Punktes \(F\), sind die entstehenden Figuren, in denen die Ebenen den Würfel schneiden, kleiner werdende (gleichseitige) Dreiecke, bis eine Scharebene den Würfel im Punkt \(F\) nur noch berührt.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 3 (B2014BA)

    \(p = 6 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck (siehe Teilaufgabe a, Ebene \(L\)).

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 3 (B2014BA)

    \(p = 6 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck (siehe Teilaufgabe a, Ebene \(L\)).

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 2 (B2014BA)

    \(p \in \, [6;12[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein (gleichseitiges) Dreieck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 2 (B2014BA)

    \(p \in \, [6;12[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein (gleichseitiges) Dreieck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 1 (B2014BA)

    \(p = 12\, \colon \enspace\)Die Scharebene \(x_{1} - x_{2} + x_{3} = 12\) berührt den Eckpunkt \(F\) des Würfels.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 1 (B2014BA)

    \(p = 12\, \colon \enspace\)Die Scharebene \(x_{1} - x_{2} + x_{3} = 12\) berührt den Eckpunkt \(F\) des Würfels.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 3 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 2 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 1 (B2014BA)
 

 

Wandert die Scharebene \(N_{6} = L\) in Richtung der Scharebene \(N_{3} = M\), sind die entstehenden Figuren, in denen die Ebenen den Würfel schneiden, Sechsecke.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 3 (B2014BA)

    \(p = 6 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck (siehe Teilaufgabe a, Ebene \(L\)).

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 3 (B2014BA)

    \(p = 6 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck (siehe Teilaufgabe a, Ebene \(L\)).

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 4 (B2014BA)

    \(p \in \; ]0;6[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein Sechseck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 4 (B2014BA)

    \(p \in \; ]0;6[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein Sechseck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 5 (B2014BA)

    \(p = 3\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein reguläres Sechseck (siehe Teilaufgabe c und d, Ebene \(M\)).

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 5 (B2014BA)

    \(p = 3\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein reguläres Sechseck (siehe Teilaufgabe c und d, Ebene \(M\)).

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 3 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 4 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 5 (B2014BA)

 

Wandert die Scharebene \(N_{3} = M\) in Richtung des Punktes \(D\), sind die entstehenden Figuren, in denen die Ebenen den Würfel schneiden, Sechsecke. Bei Erreichen des Punktes \(H\) ist die Schnittfigur das gleichseitige Dreieck \(ACH\).

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 5 (B2014BA)

    \(p = 3\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein reguläres Sechseck (siehe Teilaufgabe c und d, Ebene \(M\)).

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 5 (B2014BA)

    \(p = 3\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein reguläres Sechseck (siehe Teilaufgabe c und d, Ebene \(M\)).

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 6 (B2014BA)

    \(p \in \; ]0;6[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein Sechseck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 6 (B2014BA)

    \(p \in \; ]0;6[\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein Sechseck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 7 (B2014BA)

    \(p = 0 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 7 (B2014BA)

    \(p = 0 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 5 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 6 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 7 (B2014BA)

 

Wandert die Scharebene weiter in Richtung des Punktes \(D\), sind die entstehenden Figuren, in denen die Ebenen den Würfel schneiden, kleiner werdende (gleichseitige) Dreiecke, bis eine Scharebene den Würfel im Punkt \(D\) nur noch berührt.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 7 (B2014BA)

    \(p = 0 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 7 (B2014BA)

    \(p = 0 \, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein gleichseitiges Dreieck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 8 (B2014BA)

    \(p \in \; ]-6;0]\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein (gleichseitiges) Dreieck.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 8 (B2014BA)

    \(p \in \; ]-6;0]\, \colon \enspace\)Die Schnittfigur ist ein (gleichseitiges) Dreieck.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 9 (B2014BA)

    \(p = -6\, \colon \enspace\)Die Scharebene \(x_{1} - x_{2} + x_{3} = -6\) berührt den Eckpunkt \(D\) des Würfels.

    Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 9 (B2014BA)

    \(p = -6\, \colon \enspace\)Die Scharebene \(x_{1} - x_{2} + x_{3} = -6\) berührt den Eckpunkt \(D\) des Würfels.

  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 7 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 8 (B2014BA)
  • Ebenenschar schneidet Würfel - Grafik 9 (B2014BA)

 

Fazit: Eine Ebene, die parallel zur Ebene \(M\) verläuft, kann den Würfel in einem Punkt berühren sowie in einem Dreieck oder in einem Sechseck schneiden.

 

Menge aller Werte von \(p\), für die die Schnittfigur ein Sechseck ist

 

\[N_{p}\, \colon \, x_1 - x_2 + x_3 = p\,, \quad p \in \mathbb R\]

 

Für \(p \in \; ]3;6]\) ist die Schnittfigur ein Sechseck (siehe oben). Eine Ebene, die den Punkt \(H\) enthält, schneidet den Würfel in einem Dreieck. Der Wert des Parameters \(p\) für den Fall \(H \in N_{p}\) liefert somit die untere Grenze aller Werte von \(p\), für die die Schnittfigur ein Sechseck ist.

 

\[H\,(0|6|6)\]

 

\[\begin{align*}H \in N_{p}\, \colon \, 0 - 6 + 6 &= p \\[0.8em] 0 &= p\end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Für \(p \in \; ]0; 6[\) ist die Schnittfigur ein Sechseck.

 

Ergänzung: Berührebenen der Ebenenschar

 

\[F\,(6|0|6)\]

 

\[\begin{align*}F \in N_{p}\, \colon \, 6 - 0 + 6 &= p \\[0.8em] 12 &= p\end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Scharebene \(N_{12} = x_1 - x_2 + x_3 = 12\) berührt den Würfel im Punkt \(F\).

 

\[D\,(0|6|0)\]

 

\[\begin{align*}D \in N_{p}\, \colon \, 0 - 6 + 0 &= p \\[0.8em] -6 &= p\end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Scharebene \(N_{-6} = x_1 - x_2 + x_3 = -6\) berührt den Würfel im Punkt \(D\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe d