Teilaufgabe 2

Vier Frauen wurden zufällig ausgewählt. Zwei gehören zur Altersgruppe der 40- bis 44-jährigen und jeweils eine zu den Altersgruppen der 55- bis 59-jährigen und 65- bis 69-jährigen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Frauen mindestens eine Raucherin ist.

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Ereignisse:

\(R\): "Raucher"

\(\overline R\): "Nichtraucher"

\(M\): "männlich"

\(W\): "weiblich" (\(W = \overline{M}\))

 

Betrachten des Gegenereignisses

 

Das Ereignis \(\text{mindestens}\; 1 \,W, R\,\colon \,\)"mindestens eine Raucherin von vier Frauen" bedeutet:

\(1 \,W, R\, \colon \,\)"eine Raucherin" oder

\(2 \,W, R\,\colon \,\)"zwei Raucherinnen" oder

\(3 \,W, R\,\colon \,\)"drei Raucherinnen" oder

\(4 \,W, R\,\colon \,\)"vier Raucherinnen" von vier Frauen.

Um nicht alle Fälle für das Eintreten dieses Ereignisses berücksichtigen zu müssen, ist es vorteilhaft das Gegenereignis \(0\,W, R\,\colon \,\)"keine Raucherin von vier Frauen" zu betrachten.

\[P(\text{mindestens}\; 1 \,R) = 1 - P(0\,R)\]

 

Aus dem Diagramm abzulesen:

\[P(40-44, W, R) \approx 30 \, \% \quad \Longrightarrow \quad P(40-44, W, \overline R) \approx 70 \, \%\]

\[P(55-59, W, R) \approx 22 \, \% \quad \Longrightarrow \quad P(55-59, W, \overline R) \approx 78 \, \%\]

\[P(65-69, W, R) \approx 11 \, \% \quad \Longrightarrow \quad P(65-69, W, \overline R) \approx 89 \, \%\]

 

Wahrscheinlichkeit berechnen:

 

\[\begin{align*} P(0\,W, R) &= \underbrace{\left ( P(40-44, W, \overline R) \right )^2}_{\text{zwei 40-44-jährige Raucherinnen}} \cdot P(55-59, W, \overline R) \cdot P(65-69, W, \overline R) \\[0.8em] &= 0{,}70^2 \cdot 0{,}78 \cdot 0{,}89 \end{align*}\]

 

\[\begin {align*} P(\text{mindestens}\; 1\, W, R) &= 1 - P(0\,W, R) \\[0.8em] &= 1 - 0{,}70^2 \cdot 0{,}78 \cdot 0{,}89 \\[0.8em] &\approx 0{,}66 = 66 \, \% \end {align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 3a »