Teilaufgabe 3b

Ein Skeptiker nimmt an, dass der Anteil der Raucherinnen unter den 40- bis 44-jährigen Frauen größer als 30 % ist. Er testet die Nullhypothese \(H_0\,\colon\;p \leq 0{,}3\); dabei gibt \(p\) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine 40- bis 44-jährige Frau raucht. Im Rahmen des Tests stellt er jeder der zehn ausgewählten Frauen die Frage „Rauchen Sie?" und erhält dabei folgende Antworten: Ja - Nein - Ja - Nein - Ja - Ja - Nein - Nein - Nein - Ja. Untersuchen Sie, ob das Ergebnis der Befragung die Annahme des Skeptikers auf einem Signifikanzniveau von 5 % stützt.

(5 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der 40-44-jährigen Raucherinnen"

 

Analyse der Angabe:

 

"Er testet die Nullhypothese \(H_0\): \(p \leq 0{,}3\) ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Nullhypothese \(H_0\): \(p \leq 0{,}3\)

 

"Ein Skeptiker meint, dass die Raucherrate ... höher als 0,3 ist."

\(\Longrightarrow \quad\) Gegenhypothese \(H_1\): \(p > 0{,}3\)

 

"Er stellt jeder der 10 ausgewählten Frauen die Frage ..."

\[\Longrightarrow \quad n = 10\]

 

"... Antwortprotokoll: "ja - nein - ja - nein - ja - ja - nein - nein - nein - ja"

\[\Longrightarrow \quad X = 5\]

 

"... auf einem Signifikanzniveau von 5 % ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\)

 

"Untersuchen Sie, ob das Ergebnis ... die Meinung ... auf einem Signifikanzniveau von 5 % stützt."

\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}05\)

 

1. Lösungsansatz: Vergleich Entscheidungsregel mit Stichprobenergebnis

 

Rechtsseitiger Signifikanztest

Nullhypothese \(H_0 \, \colon \, p \leq 0{,}3\)

Gegenhypothese \(H_1 \, \colon \, p > 0{,}3\)

 

Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{0; 1; ...; k\}\)

Ablehnungbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{k + 1; ...; 10\}\)

 

Signifikanztest formulieren:

\[\begin{align*} P(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq 0{,}05 \\[0.8em] P_{0{,}3}^{10}(X \in \overline{A}) &\leq 0{,}05 \\[0.8em] P^{10}_{0{,}3} (X \geq k + 1) &\leq 0{,}05 \end{align*}\]

 

Betrachten des Gegenereignisses:

\[\begin {align*} P^{10}_{0{,}3} (X \geq k + 1) &\leq 0{,}05 \\[0.8em] 1 - P^{10}_{0{,}3} (X \leq k) &\leq 0{,}05 & &| -1 \\[0.8em] -P^{10}_{0{,}3} (X \leq k) &\leq -0{,}95 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^{10}_{0{,}3} (X \leq k) &\geq 0{,}95 \end {align*}\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[P^{10}_{0{,}3} (X \leq k) = F^{10}_{0{,}3} (k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(10; 0{,}3; i) \geq 0{,}95\]

 

\[\overset {\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 5 \quad \left( F^{10}_{0{,}3} (5) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}95265 \right)\]

 

Entscheidungsregel formulieren:

 

Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{0; 1; ...; 5\}\)

Ablehnungbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{6; ...; 10\}\)

 

Das Antwortprotokoll weist fünf Raucherinnen aus. Damit liegt das Ergebnis der Befragung auf einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 5 \,\%\) im Annahmebereich der Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p_0 \leq 0{,}3\). Folglich stützt das Ergebnis der Befragung nicht die Meinung des Skeptikers.

 

B(10;0,3;k), Signifikanztest zum Signifikanzniveau α = 0,05, Nullhypothese: p₀ ≤ 0,3, Annahmebereich = [0;1;...;5], Ablehnungsbereich = [6;...;10]

 

2. Lösungsansatz: Vergleich \(P(\text{„Fehler 1. Art"})\) mit Signifikanzniveau

 

Bei bekanntem Stichprobenergebnis lässt sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art direkt mit dem Signifikanzniveau (Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art) vergleichen. Hierfür wird das Stichprobenergebnis dem Ablehnungsbereich der Nullhypothese zugeordnet und anschließend überprüft, ob die daraus resultierende Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art das Signifikanzniveau einhält oder überschreitet.

Nullhypothese \(H_0 \, \colon \, p \leq 0{,}3\)

zu überprüfender Ablehnungbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{5; ...; 10\}\)

Signifikanzniveau \(\alpha = 5\,\%\)

 

\[\begin{align*} P(\text{„Fehler 1. Art"}) &= P_{0{,}3}^{10}(X \in \overline{A}) \\[0.8em] &= P_{0{,}3}^{10}(X \geq 5)\end{align*}\]

 

Betrachten des Gegenereignisses:

\[P_{0{,}3}^{10}(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4 )\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[F^{10}_{0{,}3} (4) = P^{10}_{0{,}3} (X \leq 4) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{4} B(10; 0{,}3; i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}84973\]

 

\[\begin{align*} P_{0{,}3}^{10}(X \geq 5) &= 1 - 0{,}84973 \\[0.8em] &= 0{,}14027 \approx 15,{0}\,\% \end{align*}\]

 

Mit 15 % liegt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art deutlich über der geforderten Obergrenze von 5 %. Folglich stützt das Ergebnis der Befragung nicht die Annahme des Skeptikers.

 

B(10;0,3;k), Signifikanztest zum Signifikanzniveau α = 0,05, Nullhypothese: p₀ ≤ 0,3, zu überprüfender Ablehnungsbereich = [5;...;10]

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