Teilaufgabe 1a

Mithilfe der Graphologie werden aus der Handschrift einer Person Rückschlüsse auf deren Persönlichkeit gezogen.

An einer Fachschule für Graphologie ist eine Dozentenstelle neu zu besetzen. Den Bewerbern sollen im Rahmen eines Vortests Schriftproben vorgelegt werden. Jede Schriftprobe stammt entweder von einer entscheidungsfreudigen oder von einer zögerlichen Person; dies soll dem jeweiligen Bewerber mitgeteilt werden, der sich anschließend bei jeder Schriftprobe entscheiden muss, ob er sie einer entscheidungsfreudigen oder einer zögerlichen Person zuordnet. Ein Bewerber soll den Vortest bestehen, wenn er sich bei mehr als zwei Dritteln der vorgelegten Schriftproben richtig entscheidet.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bewerber, der nur rät, den Vortest besteht, wenn man ihm zwölf Schriftproben vorlegen würde.

(5 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der richtig beurteilten Schriftproben"

 

Analyse der Angabe:

 

"... von zwölf vorgelegten Schriftproben ..."

\[\Longrightarrow \quad n = 12\]

 

"... wenn er nur rät."

\[\Longrightarrow \quad p = 0{,}5\]

 

"... mehr als zwei Drittel von zwölf vorgelegten Stichproben ..."

\[\frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \quad \Longrightarrow \quad X \geq 9\]

 

Binomialverteilung

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(12;0{,}5)\) binomialverteilt.

 

Da das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung keine Binomialverteilung für \(n = 12\) tabellarisert, kann das Prinzip "Betrachten des Gegenereignisses" \(\left(P^{12}_{0{,}5} (X \geq 9) = 1 - P^{12}_{0{,}5} (X \leq 8)\right)\) nicht angewendet werden.

Stattdessen muss die Summe \(P^{12}_{0{,}5} (X \geq 9) = \sum \limits_{i \, = \, 9}^{12} B(12; {0{,}5}; i)\) errechnet werden.

 

Anwenden der Formel von Bernoulli:

\[\begin {align*} P^{12}_{0{,}5} (X \geq 9) \quad &= & &\sum \limits_{i \, = \, 9}^{12} B(12; {0{,}5}; i) \\[0.8em] &= & &B(12; {0{,}5}; 9) + B(12; {0{,}5}; 10) + B(12; {0{,}5}; 11) + B(12; {0{,}5}; 12) \\[0.8em] &= & &\binom{12}{9} \cdot 0{,}5^9 \cdot (1 - 0{,}5)^{12 - 9} \\[0.8em] & &+ \quad &\binom{12}{10} \cdot 0{,}5^{10} \cdot (1 - 0{,}5)^{12 - 10} \\[0.8em] & &+ \quad &\binom{12}{11} \cdot 0{,}5^{11} \cdot (1 - 0{,}5)^{12 - 11} \\[0.8em] & &+ \quad &\binom{12}{12} \cdot 0{,}5^{12} \cdot (1 - 0{,}5)^{12 - 12} \\[0.8em] &= & &\binom{12}{9} \cdot \underbrace{0{,}5^9 \cdot 0{,}5^3}_{0{,}5^{12}} \\[0.8em] & &+ \quad &\binom{12}{10} \cdot \underbrace{0{,}5^{10} \cdot 0{,}5^2}_{0{,}5^{12}} \\[0.8em] & &+ \quad &\binom{12}{11} \cdot \underbrace{0{,}5^{11} \cdot 0{,}5^1}_{0{,}5^{12}} \\[0.8em] & &+ \quad &\binom{12}{12} \cdot \underbrace{0{,}5^{12} \cdot 0{,}5^0}_{0{,}5^{12}} \\[0.8em] &= & &\left [ \binom{12}{9} + \binom{12}{10} + \binom{12}{11} + \binom{12}{12} \right ] \cdot 0{,}5^{12} \\[0.8em] &\approx & &0{,}073 = 7{,}3 \; \% \end{align*}\]

 

Der Bewerber würde den Vortest mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 7,3 % bestehen, wenn er bei der Beurteilung der Schriftproben nur rät.

 

B(12;0,5;k), Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 9), dass der Bewerber den Vortest besteht, wenn er nur rät.

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