Teilaufgabe 1b

Die Schulleitung fordert, den Vortest so zu gestalten, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, den Vortest zu bestehen, für einen Bewerber, der nur rät, höchstens 3 % beträgt. Man entscheidet sich dafür, die Anzahl vorgelegter Schriftproben auf 30 festzulegen.

Zeigen Sie, dass mit dieser Festlegung die Forderung der Schulleitung erfüllt ist.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der richtig beurteilten Schriftproben"

 

Analyse der Angabe:

 

"... die Anzahl vorgelegter Stichproben auf 30 zu erhöhen ..."

\[\Longrightarrow \quad n = 30\]

 

"... ratender Bewerber ...", siehe Teilaufgabe 1a

\[\Longrightarrow \quad p = 0{,}5\]

 

"... bei mehr als zwei Drittel eine richtige Entscheidung ..."

\[\frac{2}{3} \cdot 30 = 20 \quad \Longrightarrow \quad X \geq 21\]

 

Binomialverteilung

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(30;0{,}5)\) binomialverteilt.

 

Betrachten des Gegenereignisses:

\[P^{30}_{0{,}5}(X \geq 21) = 1 - P^{30}_{0{,}5}(X \leq 20)\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[F^{30}_{0{,}5} (20) = P^{30}_{0{,}5} (X \leq 20) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{20} B(30; 0{,}5; i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}97861\]

 

\[\begin{align*}P^{30}_{0{,}5}(X \geq 21) &= 1 - 0{,}97861 \\[0.8em] &= 0{,}02139 \approx 2{,}1 \; \% \end{align*}\]

 

Mit 2,1 % liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nur ratender Bewerber den Vortest besteht, unter 3 %. Damit erfüllt die Festlegung auf 30 Schriftproben die Forderung der Schulleitung.

 

B(30;0,5;k), Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 21), dass der Bewerber den Vortest besteht, wenn er nur rät.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1a Teilaufgabe 1c »