Teilaufgabe 1c

Ermitteln Sie auf fünf Prozent genau, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, für einen Bewerber mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der richtig beurteilten Schriftproben"

 

Analyse der Angabe:

 

„Ermitteln Sie ..., wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, für einen Bewerber mindestens sein muss ..."

\(\Longrightarrow \quad\)Gesucht ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

 

„... damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt."

\(\Longrightarrow \quad P_{p}^{30}(X \geq 21) \geq 0{,}9\) (siehe Teilaufgabe 1b)

 

Binomialverteilung

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(30;p)\) binomialverteilt.

 

Betrachten des Gegenereignisses:

\[\begin{align*} P_{p}^{30}(X \geq 21) &\geq 0{,}9 \\[0.8em] 1 - P_{p}^{30}(X \leq 20) &\geq 0{,}9 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{p}^{n}(X \leq 20) &\geq -0{,}1 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{p}^{30}(X \leq 20) &\leq 0{,}1 \end{align*}\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

Da der Bewerber den Vortest mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % bestehen soll, muss die gesuchte Trefferwahrscheinlichkeit grundsätzlich relativ groß sein. Für \(n = 30\) sucht man die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), für welche die Wahrscheinlichkeit der kumulativen Verteilungsfunktion \(F_{p}^{30}(20) = P_{p}^{30}(X \leq 20) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{20}B(30;p;i)\) (Zeile k = 20 und rechte Spalte im Stochastischen Tafelwerk) höchstens 0,1 beträgt.

 

\[F_{0{,}75}^{30}(k) = P_{0{,}75}^{30}(X \leq 20) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{20}B(30;0{,}75;i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}19659\]

\(\Longrightarrow \quad\) Bedingung \(P_{p}^{30}(X\leq 20) \leq 0{,}1\) mit \(p = 0{,}75\) nicht erfüllt.

 

\[F_{0{,}80}^{30}(k) = P_{0{,}80}^{30}(X \leq 20) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{20}B(30;0{,}80;i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}06109\]

\(\Longrightarrow \quad\) Bedingung \(P_{p}^{30}(X\leq 20) \leq 0{,}1\) mit \(p = 0{,}80\) auf fünf Prozent genau erfüllt.

 

\[F_{\frac{5}{6}}^{30}(k) = P_{\frac{5}{6}}^{30}(X \leq 20) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{20}B(30;\frac{5}{6};i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}01971\]

\(\Longrightarrow \quad\) Bedingung \(P_{p}^{30}(X\leq 20) \leq 0{,}1\) mit \(p = \frac{5}{6} \approx 0{,}83\) übererfüllt

 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, muss für einen Bewerber mindestens 80 % betragen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt.

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