Ein Unternehmen lässt im Rahmen von Bewerbungsverfahren graphologische Gutachten zu den Personen erstellen, die sich um eine Stelle bewerben. Im Mittel werden 25 % der Bewerber aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgewiesen. Für eine Stelle bewerben sich 20 Personen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen Bewerber, die aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgelehnt werden, kleiner als die dafür im Mittel zu erwartende Anzahl ist.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der Bewerber, die aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgewiesen werden"
Analyse der Angabe:
„Im Mittel werden 25 % der Bewerber aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgewiesen."
\[\Longrightarrow \quad p = 0{,}25\]
„Für eine Stelle bewerben sich 20 Personen."
\[n = 20\]
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen Bewerber, die ... abgelehnt werden, kleiner als die dafür im Mittel zu erwartende Anzahl ist.
\(\Longrightarrow \quad\) gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(P_{0{,}25}^{20}(X < \mu)\)
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(20;0{,}25)\) binomialverteilt.
Erwartungswert \(\mu\) der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) berechnen:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(\mu = E(X) = n \cdot p\) (vgl. Merkhilfe)
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.
\[\mu = E(X) = n \cdot p = 20 \cdot 0{,}25 = 5\]
Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}25}^{20}(X < \mu)\) berechnen:
\[P_{0{,}25}^{20}(X < \mu) = P_{0{,}25}^{20}(X < 5) = P_{0{,}25}^{20}(X \leq 4)\]
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:
\[F_{0{,}25}^{20}(4) = P^{20}_{0{,}25}(X \leq 4) = \sum \limits_{i \; = \; 0}^{4} B(20; 0{,}25; i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}41484 \approx 41{,}5 \, \%\]
