Monotoniekriterium

Dem Flächenstück, das \(G_h\) mit der \(x\)-Achse vollständig einschließt, werden Rechtecke so einbeschrieben, dass jeweils eine Seite des Rechtecks auf der \(x\)-Achse liegt. Berechnen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt \(A\) eines solchen Rechtecks.

(Ergebnis: \(A = \frac{16}{9}\sqrt{3}\))

(6 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(p\,\colon x \mapsto e^{-\frac{1}{4}x}\) und \(q\,\colon x \mapsto e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \cos x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_q\) von \(q\) füe \(x \geq 0\).

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten des Graphen von \(p\) und geben Sie das Verhalten von \(p\) für \(x \to +\infty\) und \(x \to -\infty\) an.

(4 BE)

Zeigen Sie, dass \(G_f\) genau einen Hochpunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an.

(zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate des Hochpunkts: \(\ln 3\))

(5 BE)

Betrachtet wird nun die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle F\,\colon\,x\mapsto \int_{a}^{x}f(t)\,dt\).

Geben Sie an, welche besonderen Eigenschaften der Graph von \(F\) im Punkt \((a|F(a))\) hat; begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

(4 BE)

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \, \colon x \mapsto \frac{x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R^+ \, \backslash \{1\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\).

(5 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).

(2 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abb. 2

Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).

(2 BE)

Geben Sie das Monotonieverhalten von \(G_f\) und die Wertemenge von \(f\) an.

(2 BE)

Weisen Sie nach, dass die Steigung von \(G_f\) in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_f\) die \(x\)-Achse schneidet.

(4 BE)

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(p \colon x \mapsto 0{,}5 \cdot (x + 2)^2 - 0{,}5\), die die Nullstellen \(x = -3\) und \(x = -1\) hat.

Für \(x \in D_{f}\) gilt \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{p(x)}\).

Abb. 1

Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitung \(f'\) und \(p'\) die Beziehung \(\displaystyle f'(x) = -\frac{p'(x)}{\big( p(x) \big)^2}\) für \(x \in D_{f}\).

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von \(f'(x)\) und \(p'(x)\), dass \(x = -2\) einzige Nullstelle von \(f'\) ist und dass \(G_{f}\) in \(]-3;-2[\) streng monoton steigend sowie in \(]-2;1[\) streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\) an.

(5 BE)

Gegeben ist ferner die in \(D_{h}\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle H_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} h(t) \,dt\).

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:

α) Der Graph von \(H_{0}\) ist streng monoton steigend.

β) Der Graph von \(H_{0}\) ist rechtsgekrümmt.

(4 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(4 BE)

Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades, deren Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 1\) einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 4\) einen Tiefpunkt besitzt.

Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) eine Parabel ist, welche die \(x\)-Achse in den Punkten \((1|0)\) und \((4|0)\) schneidet und nach oben geöffnet ist.

(3 BE)

Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der \(x\)-Achse, sein Mittelpunkt \(M\) im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:

Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion \(p \colon x \mapsto -0{,}2x^{2} + 5\) mit dem Definitionsbereich \(D_{p} = [-5;5]\).

Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.

(6 BE)

Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu \(M\) minimal ist. Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinaten der Punkte \(P_{x}\), für die \(d(x)\) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.

(5 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(G_{h}\). Geben Sie den Grenzwert von \(h\) für \(x \to +\infty\) an und begründen Sie, dass \([-3;+\infty[\) die Wertemenge von \(h\) ist.

(4 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(Teilergebniss: \(x\)-Koordinate des Extrempunkts: \(\ln 4\))

(4 BE)

Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

(2 BE)

Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

(2 BE)